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AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS (2o Ing. de Telecomunicación y Aeronáutica) Departamento de Matemática Aplicada II. Universidad de Sevilla CURSO ACADÉMICO 2008-2009

Práctica II: Problemas de valor inicial en EDO’s.

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Introducción

Es sabido que sólo en unos cuantos casos se puede expresar la solución de una ecuación diferencial ordinaria por medios analíticos y que, en general, es imposibleresolver el problema de Cauchy aun cuando se sepa que tiene solución única, por lo que es necesario desarrollar métodos que permitan obtener aproximaciones precisas de esa solución. En esta práctica, utilizaremos un método numérico para resolver problemas de valores iniciales. Se llama problema de valor inicial (PVI) o problema de Cauchy en un intervalo [t0 , tf ], al dado por una EDO y unacondición inicial en la forma: ( 0 y = f(t, y(t)), (P V I) y(t0 ) = y0 . En general, los métodos numéricos se basan en la discretización de la variable independiente t (tiempo o espacio) sustituyendo el intervalo [t0 , tf ] por una malla finita de n + 1 puntos o nodos ti (i = 1, . . . , N) en los que se obtiene la solución de modo aproximado. La distancia entre dos nodos consecutivos de la malla hi =ti+1 − ti se denomina paso. El objetivo es definir una estrategia que nos permita producir una sucesión {yn } con n = 1, . . . , N que aproxime a la solución exacta y(t) en los puntos tn de la malla. A esa sucesión se le llama solución numérica del problema de Cauchy. MATLAB dispone de varias funciones para resolver numéricamente Problemas de Valor Inicial. En esta práctica, nos centramos en la ordenode45, aunque su utilización se generaliza a las funciones de tipo ode**. La función ode45 está basada en un algoritmo de tipo Runge-Kutta, que se desarrolló a partir del método de Euler mejorado. En las aplicaciones, el método de Euler básico resulta ineficiente y por ello se han desarrollado varios método numéricos de tipo Runge-Kutta. 1

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2.1

Uso de la función matlab ode45.
La sintaxissimple.

[T,Y]=ode45(funcion, tiempos ,y0) funcion es el nombre de una función que evalúa el segundo miembro de la ecuación, esto es, f (t, y(t)). Puede ser un objeto inline o bien una referencia a una m-función del tipo fun.m. tiempos es el intervalo en el que se quiere calcular la solución que puede ser [t0, tf] o bien un vector cuyas componentes constituyen una partición t0 < t1 < · · · < tf. y0 es el valor de la condición inicial. T es un vector columna con la partición realizada en el intervalo [t0, tf]. Y es una matriz con tantas columnas como componentes tenga y0 y tantas filas como componentes tenga el vector T . Ejercicio 1 resuelto. Calcular en el intervalo [1, π] la solución de ( 0 y = 2t + y, (P V I) y(1) = 0.5. >> f=inline(’2*t+y’,’t’,’y’); >> [T,Y]=ode45(f,[1,pi],0.5); Lagráfica se puede dibujar con >> plot(T,Y) En este ejemplo puede observarse que los métodos ode** son de paso variable. Para observar esto, consulta la ayuda de matlab sobre la función diff y teclea >> plot(T(2:length(T)),diff(T)) Otra forma de definir la función asociada es usar un m-archivo llamado mifun.m de la forma: function [dydt]=mifun(t,y) dydt=2*t+y; Después se ejecuta: >>[T,Y]=ode45(@mifun,[1,pi],0.5); • Con el símbolo @, MATLAB entiende que es una función de nueva creación. • Hay otra forma alternativa de llamar a una función con ode45: >> [T,Y]=ode45(’mifun’,[1,pi],0.5); Para usar esta alternativa, la función mifun debe estar grabada en otro fichero llamado mifun.m.
t Ejercicio 2. Calcular la solución al PVI correspondiente a y 0 = 0.2 cos( 2 )y, y(1) = 0.5 usando una particióndel intervalo [1, π] en 40 subintervalos (usar la orden linspace de MATLAB). • Hacemos notar que la resolución de sistemas diferenciales con MATLAB se hace igual que la de EDO sólo teniendo en cuenta que, en ese caso, la función del segundo miembro y

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la condición inicial toman valores vectoriales. Todos los vectores deben introducirse como vectores columnas. Ejercicio 3 resuelto. Resolver...
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