Diseño de controladores discretos

Diseño de controladores discretos





Realizado por:
Luis Carlos García Alfaro A01693
Elías Retana Durán A12983



Profesor:
Aramis Pérez Mora






I Semestre 2006


Selección de la planta

Para seleccionar la planta a la cual se le va a diseñar el controlador, se realizó el siguiente procedimiento:
Los carnés de los estudiantes que realizan el trabajo son A01693y A12983, el promedio del último digito es 3, por lo tanto la planta a utilizar es la número 2:


Para la planta anterior se procederá a diseñar el controlador utilizando los métodos: mínimo tiempo de respuesta, respuesta libre de rizado, algoritmo de Kalman y algoritmo de Dahlin.

El tiempo de muestreo es T=0.5s.

Para la realización del diseño de los controladores será necesario utilizarel equivalente retenedor planta y un modelo en variables de estados de dicha planta. Por lo que a continuación se muestra el procedimiento para obtenerlos.

Equivalente retenedor planta

Aplicando:

Calculando primero la transformada Z:


Como T=0.5,

Simplificando dicha expresión se llega a:

El siguiente paso es multiplicar por (1-z-1)

Simplificando se llega a:Finalmente el equivalente retenedor planta es:


Modelo en variables de estado

Se tiene que:


Aplicando la transformada de Laplace inversa se llega a:

Realizando la siguiente asignación de estados:


A partir de la ecuación diferencial y de la asignación de estados se obtiene las siguientes relaciones:

Entonces el MVE continuo es:

De donde:

Ahora se procede a obtener elMVE discreto a partir del resultado anterior:
La matriz A:
¨


Como T=0.5s



El vector B:


Como T=0.5s

Por lo tanto el MVE discreto es el siguiente:


A partir del equivalente retenedor planta, se puede observar en Matlab® el diagrama de polos y ceros para confirmar que la planta es inestable. En Matlab® el diagrama de polos y ceros de una función discreta seimplementa así:

numDz = [0.633 0.643];
denDz = [1 -2.257 1];
T = .5;
sys = tf(numDz,denDz,T);
[poles,zeros] = pzmap(sys)
pzmap(sys)
axis([-2 2 -2 2])
zgrid

El resultado es:

poles = 1.6515 y 0.6055
zeros = -1.0158

A continuación se presenta el procedimiento para el diseño de los controladores.

1. Algoritmo de mínimo tiempo de respuesta

Este método busca cumplir con 3especificaciones:
1. Un controlador no anticipativo.
2. Error ante una entrada de prueba sea cero en los instantes de muestreo.
3. La respuesta transitoria es la más rápida posible por lo que el tiempo de asentamiento es el más corto.

La ecuación del controlador es la siguiente:



Dado que la entrada es un escalón unitario q=0.





Para verificar si el controlador es no anticipativo sesaca la transformada Z inversa y se obtiene la ecuación discreta del controlador.





De esta forma se demuestra que la salida solo depende de entradas pasadas y entradas presentes por lo tanto el controlador es no anticipativo.

Análisis de estabilidad

Criterio de estabilidad de Jury

Para el análisis de estabilidad se utilizó el criterio de Jury a partir de la ecuacióncaracterística: 1+D(z)Gp(z)=0




La primera condición de estabilidad es que F(1) > 0

Dado que F(1) < 0 el sistema es aún inestable.

Diagrama de polos y ceros en Matlab®
El código es el siguiente:

% Num y Den de la planta
numDz = [0.633 0.643];
denDz = [1 -2.257 1];
% Num y Den del controlador
numCz = [1.538 -3.476 1.538];
denCz = [1 -0.0462 0.0954];
% Tiempo de muestreo
T = .5;Gz = tf(numDz,denDz,T);
Dz = tf(numCz,denCz,T);
DGz = Dz*Gz;
FTLC=(DGz/(1+DGz))
[poles,zeros] = pzmap(FTLC)
pzmap(FTLC)
axis([-2 2 -2 2])
zgrid


Se observa que existe 2 polos fuera del círculo unitario en y aunque hay un cero cercano de manera que aún el sistema es inestable.



poles =

1.6538
1.6515
-0.4642 + 0.9327i
-0.4642 - 0.9327i...