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ESCUELA POLITÉNICA SUPERIOR. UNIVERSIDAD DE ALCALÁ

MÁSTER EN TECNOLOGÍAS DE LA INFORMACIÓN Y LAS TELECOMUNICACIONES

Técnicas de optimización en ingeniería. Programación no lineal. Práctica

Diseño de filtros adaptativos

Mª Pilar Jarabo Amores Abril de 2010

Técnicas de Optimización en Ingeniería. Práctica

Estudio del combinador lineal adaptativo
Se propone el estudio delcombinador lineal adaptativo. Para ello considere el filtro FIR adaptativo cuyo esquema se presenta a continuación:
x[k]=xs[k] + n[k]

+
W0

z-1

W1

d[k]

+ +
y[k]

- +

e[k]

Figura 1: Filtro FIR adaptativo de orden 1

Donde:

⎛ 2π k ⎞ xs [ k ] = sen ⎜ ⎟ ⎝ N ⎠ n [ k ] es un ruido aditivo, blanco y gaussiano de media nula y varianza igual a 0,05. ⎛ 2π k ⎞ d [ k ] = 2 ⋅ cos ⎜ ⎟ ⎝ N⎠
Los vectores de entrada según la notación vista en clase serían:

⎡ ⎛ 2π k ⎞ ⎛ 2π ( k − 1) ⎞ ⎤ x sk = ⎢sen ⎜ ⎟⎥ ⎟ sen ⎜ N ⎢ ⎝ N ⎠ ⎝ ⎠⎥ ⎣ ⎦ n k = ⎡ n [ k ] n [ k − 1]⎤ ⎣ ⎦
T

T

⎡ ⎛ 2π k ⎞ ⎤ ⎛ 2π ( k − 1) ⎞ x k = x sk + n k = ⎢sen ⎜ ⎟ + n [ k − 1]⎥ ⎟ + n [ k ] sen ⎜ N ⎢ ⎝ N ⎠ ⎥ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦
Matriz de autocorrelación de la señal de entrada, Rxx [1]:

T

R XX

⎡ ⎛ 2π ⎞ ⎤ ⎡ 2 ⎤ ⎢ 0.5 + E⎣ n [ k ]⎦ 0.5 ⋅ cos ⎜ N ⎟ ⎥ ⎝ ⎠⎥ =⎢ ⎢ ⎥ ⎛ 2π ⎞ 2 ⎢ 0.5 ⋅ cos ⎜ ⎟ 0.5 + E ⎡ n [ k ]⎤ ⎥ ⎣ ⎦ ⎝ N ⎠ ⎣ ⎦

Máster en Tecnologías de la Información y las Comunicaciones

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Técnicas de Optimización en Ingeniería. Práctica

Matriz de correlación cruzada entre la entrada y la salida deseada, Rxd [1]:

R Xd

0 ⎡ ⎢ = ⎢ − sen ⎛ 2π ⎜ ⎢ ⎝ N ⎣

⎤ ⎥ ⎞⎥ ⎟⎥ ⎠⎦

Nótese que al ser xs[k] determinista,la entrada no es estacionaria (por ejemplo, la media de cada muestra de entrada x[k] es xs[k]). Para cada k se obtendría una matriz de autocorrelación:

⎡ ⎛ 2π ( k − 1) ⎞ ⎤ ⎛ 2π k ⎞ 2 ⎛ 2π k ⎞ 2 sen ⎜ ⎢ sen ⎜ ⎟⎥ ⎟ + E ⎡ n [ k ]⎤ ⎟·sen ⎜ ⎣ ⎦ N ⎝ N ⎠ ⎝ N ⎠ ⎝ ⎠⎥ ⎢ R XX [ k ] = ⎢ ⎥ ⎛ ⎞ 2 ⎛ 2π k ⎞ 2 ⎢ sen ⎛ 2π k ⎞·sen ⎜ 2π ( k − 1) ⎟ ⎡ ⎤ ⎥ sen ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ + E ⎣ n [ k ]⎦ ⎥ ⎢ ⎝ N ⎠ N ⎝ N ⎠ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦

⎡ ⎛2π ( k − 1) ⎞ ⎤ ⎛ 2π k ⎞ ⎛ 2π k ⎞ sen 2 ⎜ sen ⎜ ⎢ ⎟⎥ ⎟ + 0, 05 ⎟·sen ⎜ N ⎝ N ⎠ ⎝ N ⎠ ⎝ ⎠⎥ ⎢ R XX [ k ] = ⎢ ⎥ 2 ⎛ 2π k ⎞ ⎢ sen ⎛ 2π k ⎞·sen ⎛ 2π ( k − 1) ⎞ ⎥ sen ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ + 0, 05 ⎢ ⎜ N ⎟ ⎥ N N ⎠ ⎠ ⎝ ⎝ ⎠ ⎣ ⎝ ⎦
En [1] el cálculo de las matrices Rxx y Rxd se ha hecho promediando en el tiempo las señales deterministas. La matriz de autocorrelación de xs[k] y la de correlación cruzada de xs[k] y d[k] sehan calculado como:

⎡ E ⎣ xs [ k ]· xs [ k − n ]⎤ = ⎦ ⎡ ⎤ E ⎣ d [ k ]· xs [ k − n]⎦ =

1 N 2 N

∑ sen ⎜ ⎝
k =1

N

⎛ 2π ( k − n ) ⎞ ⎛ 2π k ⎞ ⎛ 2π n ⎞ ⎟=0,5·cos ⎜ ⎟·sen ⎜ ⎟ ; n = 0,1 N ⎠ N ⎝ N ⎠ ⎝ ⎠ n = 0,1

∑ cos ⎝ ⎜
k =1

N

⎛ 2π ( k − n ) ⎞ ⎛ 2π k ⎞ ⎛ 2π n ⎞ ⎟ = -sen ⎜ ⎟·sen ⎜ ⎟; N ⎠ N ⎝ N ⎠ ⎝ ⎠

En realidad es como si hubieran calculado el promedio temporal de Rxx[k]. Elobjetivo es encontrar el vector de pesos óptimo que minimice el error cuadrático medio entre la salida del filtro y la salida deseada.

Máster en Tecnologías de la Información y las Comunicaciones

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Técnicas de Optimización en Ingeniería. Práctica

Caracterización del problema
Ejercicio1. Para N = 30, realice una representación gráfica de la superficie de error asociada al problemaplanteado. La expresión de la superficie de error es la siguiente:

ξ = E ⎡ε k2 ⎤ = E ⎡ d 2 ⎤ + Wk T R XX Wk − 2R T Wk T Xd ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Sustituyendo los valores indicados:
2 ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ξ = E ⎣ε 2 [ k ]⎦ = 0.5 + E ⎣ n 2 [ k ]⎦ ⋅ ( w0 + w12 ) + w0 w1 cos ⎜

(

)

⎛ 2π ⎝ N

⎞ ⎛ 2π ⎟ + 2 w1 sen ⎜ ⎠ ⎝ N

⎞ ⎟+2 ⎠

% Representación de la superficie de error: w0 = -40: 0.5: 60; w1 = -40: 0.5:20;[W0,W1] = meshgrid(w0,w1); sup_error = 0.55*((W0.^2)+(W1.^2))+ ((W0.*W1)*cos(2*pi/N)) + 2*W1*sin(2*pi/N)+ 2; figure(1); mesh(w0,w1,sup_error); title('Superficie de error'); xlabel('w_0') ylabel('w_1') zlabel('MSE') Puede obtener una representación en curvas de nivel mediante la función contour(·) de Matlab: figure(2); contour(w0,w1,sup_error) xlabel('w_0') ylabel('w_1') title('Superficie de...
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