Distancia de un punto a una recta

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Distancia de un punto a una recta
En Geometría euclidiana, la distancia de un punto a una recta es la distancia más corta entre ese punto y un punto de una línea o recta.

Sean A un punto y D unarecta.
Se define la distancia entre A y D como la distancia mínima entre A y un punto M de D.

* Para recta definida por su ecuación reducida

Obsérvese que
Demostración
Es fácil comprobarque este mínimo se realiza en la proyección ortogonal de A sobre D, es decir el punto A' de la recta (D) tal que (AA') sea perpendicular a ella. En efecto, si se toma otro punto cualquiera B de (D),entonces en el triángulo rectángulo AA'B, la hipotenusa AB es más larga que el cateto AA'. Geométricamente se construye el proyectado A' deslizando una escuadra sobre una regla que sigue la recta Dhasta encontrar el punto A; luego se mide la longitud AA'.

Un objetivo más ambicioso es el de encontrar una manera de calcular esta distancia, es decir sin pasar por una medición gráfica,forzosamente aproximativa. Para ello, es aconsejable utilizar un sistema de coordenadas ortogonales - en la figura. La recta y el punto cuya distancia se quiere medir son definidos por su ecuación cartesiana ysus coordenadas respectivamente: ; y
Si en la ecuación de la recta D variamos sólo el valor del parámetro "c" obtendremos una familia de rectas paralelas. De manera que para determinar un vectorperpendicular podemos tomar c = 0. Así, los vectores sobre la recta tendrán la forma , que puede simplificarse a
Busquemos un vector normal a (es decir, perpendicular a la recta), que deberá cumplir queel producto escalar , y resulta ser (de ahí el interés de la ecuación cartesiana) y al dividirlo por su norma se obtiene el vector normado que define una medida algebraica sobre la recta (M'M):
Ladistancia MM' es el valor absoluto de la medida algebraica:

Como M' pertenece a D, sus coordenadas verifican a·x' + b·y' = -c luego lo anterior se simplifica así:
En conclusión: La distancia...
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