Distancia entre dos puntos

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Distancia entre dos puntos

Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje x o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus abscisas.
Ejemplo: La distancia entre los puntos (-4,0) y (5,0) es 4 + 5 = 9 unidades.
Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje y o en una recta paralela a este eje, la distanciaentre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus ordenadas.
Ahora si los puntos se encuentran en cualquier lugar del sistema de coordenadas, la distancia queda determinada por la relación:

Para demostrar esta relación se deben ubicar los puntos A(x1,y1) y B(x2,y2) en el sistema de coordenadas, luego formar un triángulo rectángulo de hipotenusa AB y emplear el teorema depitágoras.
Ejemplo: Calcula la distancia entre los puntos A(7,5) y B (4,1)

d = 5 unidades

Calcular la distancia entre dos puntos

Si utilizamos un sistema de coordenadas cartesianas para representar puntos sobre un plano, podemos calcular la distancia entre dos puntos cualesquiera del plano conociendo sus coordenadas.

¿Cómo calcular esa distancia? ¿A qué lo podemos aplicar?

I. Lafórmula
Sea un sistema de coordenadas cartesianas xy, y sean A y B dos puntos del plano, de coordenadas (x, y) e (x', y'), respectivamente.

La distancia entre esos dos puntos A y B viene dada por la fórmula:

II. Aplicaciones
1. Determinar si cuatro puntos dados forman un cuadrilátero y de qué tipo
Situamos los puntos A(-2, -3), B(-1, 3), C(4, -2) y D(5, 4) en un sistema de coordenadascartesianas, tomando como unidad de longitud el centímetro.

Vamos a demostrar que el cuadrilátero ACDB es un rombo. Para ello, calculamos la longitud de uno de sus lados. Aplicando la fórmula, tenemos:

Así pues, d(A, C) = d(C, D) = d(D, B) = d(B, A), es decir, los cuatro lados del cuadrilátero ACDB tienen la misma longitud, por tanto, es un rombo.

2. Determinar si tres puntos dados forman ono un triángulo rectángulo
Situemos los puntos A(2, -5), B(0, 3) y C(-3, 0) sobre un sistema de coordenadas cartesianas, tomando como unidad de longitud el centímetro.

Vamos a demostrar que el triángulo es rectángulo. Para ello, calculamos la longitud de cada uno de sus lados. Aplicando la fórmula, tenemos:

Comparamos d(B, A)² y d(C, B)² + d(A, C)².
y .
d(B, A)² = d(C, B)² + d(A, C)²,por tanto, el triángulo tiene un ángulo recto en C de acuerdo con el teorema de Pitágoras.
3. Comprobar si un punto dado pertenece o no a una circunferencia
Situemos los puntos H(-1, 2) y M(3, 5) sobre un sistema de coordenadas cartesianas, tomando como unidad de longitud el centímetro. Queremos demostrar que M es un punto que pertenece a la circunferencia de centro H y radio igual a 5.Calculamos la distancia d(M, H). Aplicando la fórmula, obtenemos:
.
d(M, H) = 5. Por tanto, M es un punto de la circunferencia con centro en H y radio igual a 5.
4. Comprobar que un punto está sobre la mediatriz de un segmento
Situemos los puntos E(0, 2), F(3, -1) y B (-1, -2) sobre un sistema de coordenadas cartesianas, tomando como unidad de longitud el centímetro.

Calculamos d(E, B) y d(F,B):

.
d(E, B) = d(F, B). Es decir, B es equidistante de E y de F, lo que demuestra que B está sobre la mediatriz del segmento EF.

Recta
En geometría euclidiana, la recta o línea recta, se extiende en una misma dirección, existe en una sola dimensión y contiene infinitos puntos; está compuesta de infinitos segmentos (el fragmento de línea más corto que une dos puntos). También se describecomo la sucesión continua e indefinida de puntos en una sola dimensión, o sea, no posee principio ni fin.
Es uno de los entes geométricos fundamentales, junto al punto y el plano. Son considerados conceptos apriorísticos ya que su definición sólo es posible a partir de la descripción de las características de otros elementos similares. Así, es posible elaborar definiciones basándose en los...
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