Distibuccion probabilistica

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Introducción al concepto de valor esperado Franco, L., Olmedo, E. y Valderas, J.M. Dpto. Economía Aplicada I

INTRODUCCIÓN AL CONCEPTO DE VALOR ESPERADO O ESPERANZA MATEMÁTICA DE UNA VARIABLE ALEATORIA
Luis Franco Martín {lfranco@us.es} Elena Olmedo Fernández {olmedo@us.es} Juan Manuel Valderas Jaramillo {valderas@us.es}

Departamento de Economía Aplicada I, Universidad de SevillaINTRODUCCIÓN HISTÓRICA1
Se puede afirmar que el primer estudio sistemático del valor esperado se debe a Huygens (en su obra Libellus de Ratiotiniis in Ludo Aleae, de 1657), que calcula el valor justo de un juego a partir de una respuesta obvia en ciertas situaciones simétricas, y generalizando el valor esperado obtenido a cualquier situación. Comienza suponiendo que: Si se espera ganar a o b, cualquierade los dos con igual probabilidad, entonces la expectativa vale ( a + b ) 2 , es decir, la semisuma de a y b. Generalizando este razonamiento a n posibles resultados a1 ,… , an , teniendo todos la misma probabilidad, conduce a un valor esperado igual a ( a1 + … + an ) n .

Posteriormente, Huygens considera el caso en que las posibles ganancias son a y b, pero con probabilidades distintas.Supone que hay p oportunidades de ganar a, y q oportunidades de ganar b. Por tanto, generalizando de las proposiciones anteriores, considerando un juego equivalente en el que cada uno de los p + q resultados ocurre con la misma probabilidad, pero en p de ellos se obtiene una ganancia a y en los q restantes una ganancia b, el valor esperado será igual a a⋅ p q +b⋅ p+q p+q

En definitiva, se utilizabauna idea similar a la acepción vulgar del término esperanza. Si se consulta el Diccionario de la Real Academia, se encuentra la siguiente acepción: “estado del ánimo en el cual se nos presenta como posible lo que deseamos”. De hecho, inicialmente se confundía la esperanza del juego con su resultado positivo, llegando Laplace (1814), al considerar el caso de pérdida, a denominar a esta situaciónnegativa esperada “temor”.

1

http://hilbert.dartmouth.edu/~doyle/docs/prob/prob.pdf, de Peter Doyle, de la U. Darthmouth

Introducción al concepto de valor esperado Franco, L., Olmedo, E. y Valderas, J.M. Dpto. Economía Aplicada I En este sentido la siguió utilizando Jacob Bernoulli (1713) para indicar la situación de un jugador que deseaba ganar el juego en el que participaba. Surazonamiento, al contrario que el de Huygens, utiliza la noción de frecuencia, y no se basaba en la simetría de la situación. Razonó de la siguiente manera: en una baza concreta el resultado era incierto pero, basándose en la experiencia de pasadas partidas, se podía asignar una valoración a priori de los porcentajes de veces en que se ganaba o se perdía. Estas proporciones posteriormente fueron asimiladosa probabilidades (noción clásica o frecuencialista de la probabilidad). El valor esperado del juego sería así

ganancia × (proporción de veces que gana) - pérdida × (proporción de veces que pierde) Por último, la aplicación del enfoque frecuencialista de la probabilidad llevó, para el caso general de un juego que presentara más de dos posibles resultados, a la expresión

∑ x P( X = x )
i i ique sería el valor esperado del juego si se jugara un número infinito de veces.

INTRODUCCIÓN AL CONCEPTO DE ESPERANZA MATEMÁTICA EN EL CASO DISCRETO
Comencemos considerando un juego en el que, si se gana, se obtienen a unidades monetarias y, si se pierde, se tienen que abonar b unidades monetarias. Supongamos ahora que la probabilidad de ganar el juego es igual a 1, y por tanto laprobabilidad de perderlo es igual a 0. ¿Cuánto estaríamos dispuestos a apostar por participar en este juego? Estaríamos dispuestos a apostar, como mucho, una cantidad igual a la que esperamos ganar. Esta cantidad que estamos dispuestos a apostar será el valor esperado del juego. En este caso, lógicamente, como mucho apostaríamos a unidades monetarias ya que, con probabilidad 1, nuestra ganancia es igual...
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