Distribución normal

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DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

Una distribución de probabilidad es la relación entre los valores que puede tomar una variable y la probabilidad que le corresponde; es decir, describe la forma en que se espera varíen los resultados. Como estas distribuciones representan expectativas de que algo suceda, resultan modelos útiles para hacer inferencias y tomar decisiones en condiciones deincertidumbre.

Una distribución de probabilidad se puede construir a partir de una distribución de frecuencias, cambiando la frecuencia de un resultado por su probabilidad de ocurrencia.

[pic]

Distribución Binomial.

Es una distribución de probabilidad para variables cuantitativas discretas y consiste en conocer la probabilidad de sacar varios componentes de una población y ver cuántos deellos cumplen con la característica deseada (éxito). Es decir,

De una serie de ‘n’ ensayos, cada uno con la misma probabilidad de éxito (p) e independientes entre sí, la variable aleatoria x, igual al número de éxitos en n ensayos, tiene una distribución binomial con parámetros n y p, y sus posibles valores son 0, 1, 2, …., n.

Si se realiza un total de n ensayos y si:
• Los ensayosson independientes,
• Cada ensayo tiene la misma probabilidad de éxito p,
• X es el número de éxitos en los n ensayos,
Entonces x tiene la distribución binomial con parámetros n y p.

Para que haya independencia entre los eventos se requiere que:
• El resultado de un ensayo no influya en el resultado de otro ensayo.
• La población debe ser muy grande en comparaciónde la muestra; la regla general es que el tamaño de muestra sea menor al 5% del tamaño de la población.

Por ejemplo, Un lote contiene varios miles de componentes, de éstos el 10% están defectuosos. Se extraen 7 componentes de la población. Sea x el número de componentes defectuosos en la muestra. Puesto que el tamaño muestral es pequeño en comparación con la población (menor al 5%), sunúmero de éxitos representa una distribución binomial.

La probabilidad de x está dada por:

[pic]

Para calcular la media y la varianza de una variable aleatoria binomial:
[pic] [pic]

Para estimar la probabilidad de éxito (p):

[pic]

Es importante considerar que la proporción muestral [pic]es sólo una estimación de p, y que en general, no es igual a p. Sise tomara otra muestra, probablemente el valor de [pic]sería diferente.

Distribución Normal.

Es una distribución de probabilidad para una variable aleatoria continua o discreta. Esta distribución es muy utilizada porque casi se ajusta a las distribuciones de frecuencia reales observadas en muchos fenómenos, como características humanas (peso, altura, coeficiente intelectual), resultados deprocesos físicos (dimensiones y rendimientos; por ejemplo: contaminación del aire por partículas en una localidad), y muchas otras medidas de interés.

Características:
• Es simétrica en forma de campana.
• La media, la mediana y la moda tienen el mismo valor, ubicado al centro de la figura.
• Teóricamente la curva se extiende hasta el infinito en ambas direccionessin tocar nunca el eje horizontal (esto no aplica para poblaciones reales pero es una aproximación conveniente)
• La distribución normal se define mediante la media y la desviación estándar.

[pic]

En el primer caso se muestran dos distribuciones normales de probabilidad con la misma media pero diferente desviación estándar. En el segundo, todas con la misma desviación estándar perocon diferente media. Por lo tanto, la curva normal puede describir un gran número de poblaciones, diferenciadas solamente por la media, por la desviación estándar o por ambas.

Distribución normal estandarizada

Existen tablas que proporcionan porciones del área bajo la curva normal distintas a las dadas arriba. Sin embargo, debido a que no es posible ni necesario tener una tabla distinta...
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