Distribucion de probabilidad para variables aleatoria continuas

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Capítulo 5: Distribución de Probabilidad para Variables Aleatorias Continuas
La forma grafica de una distribución de probabilidad de variables aleatorias continuas (v.a.c.) podría ser un polígono de frecuencia suavizado como el de la figura siguiente:
f(x)

a

b

x

Figura 12. Distribución de probabilidad para una variable continúa.

La curva que representa la distribución esllamada “función de densidad de probabilidad, denotada por f(x)”. Siguiendo con la similitud a un polígono de frecuencia, f(x) también es llamada función de frecuencia, que correspondería a la frecuencia relativa del polígono de frecuencia. En el caso de distribuciones de v.a.c., la probabilidad para un solo valor de la variable aleatoria es igual a cero debido a que una v.a.c. puede tomar un numeroinfinito de valores, por lo tanto, P(x = a) =0. En este caso las probabilidades son calculadas para intervalos, correspondiendo estas a las áreas bajo la curva denotada por f(x). De aquí P(a ≤ x ≤ b) (i.e. la probabilidad de que x este entre a y b) es el área comprendida entre los valores a y b por debajo de la curva f(x). Entonces:

P(a ≤ x ≤ b) =
y

∫ f ( x)dx
a

b

P(a< x < b) = P(a≤ x ≤ b) =
Porque P(a) y P(b) = 0 También tenemos que:
∞

∫ f ( x)dx
a

b

µ=

−∞

∫ xf ( x)dx y

∞

σ² =

−∞

∫ (x − µ)

2

f ( x)dx

5.1 Distribución Normal Una de las distribuciones de v.a.c. más comunes es la distribución normal que tiene una grafica en forma de “campana”

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5.1.1 Variable Aleatoria Normal Sea x una v.a.c. con media µ< ∞ y varianza σ²< ∞ .Entonces se dice que x ~N (µ, σ²). (i.e. x esta normalmente distribuida con media µ y varianza σ²). Si y únicamente si x tiene una función de densidad de probabilidad f(x):
-1/2  1 f(x) = e  σ 2π  x-µ   σ 
2

donde e = 2.71828, π = 3.1416
0.45

0.4

0.35

0.3

0.25

0.2

σ

0.15

0.1

0.05

0 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

µ
Figura 13. Curva dela distribución normal

Dada x como x ~N (µ, σ²), de aquí podemos decir que P(a ≤ x ≤ b) esta dada por:

P(a ≤ x ≤ b) =

∫
a

b

1 f ( x)dx = σ 2π

∫e
a

b

 x−µ  −1 / 2    σ 

2

dx

Con la finalidad de hacer mas practico su uso, se encontró que transformando las v.a. normales a v.a. normales estándar, se podrían calcular probabilidades sin tener que integrar. Antesde ver la distribución normal estándar listaremos algunas de las principales propiedades de la distribución normal. a) La distribución normal es simétrica, por lo tanto:
P(x ≤ µ) = P(x ≥µ) = 0.5 b) La media es igual a la moda y a la mediana.

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5.1.2 Distribución Normal Estándar Sea z una variable aleatoria normal con media µ =0 y varianza σ² = 1. Entonces z es una variable normal estándar.De aquí:
P(a ≤ Z ≤ b) = ó P(0 ≤ Z ≤ b) = 1 2π
−1 / 2 x ∫ e dx
2

1 2π

∫e
a b

b

−1 / 2 x 2

dx

0

Esta ultima expresión se encuentra tabulada para todos los posibles valores de b desde b=0 hasta b=3.09 (ver Tabla de distribución z). Lo importante de esta curva normal estándar es que cualquier distribución normal puede ser transformada a una distribución normal estándar y asícalcular probabilidades para cualquier otra distribución normal.

Sea x ~ N(50, 225) entonces x se puede transformar en una variable normal estándar por medio de la transformación z. Donde:
Z=
x−µ

σ

µ = media de x σ = desviación estándar de x Esta transformación puede ser representada gráficamente como sigue:
xi − µ

µ σ²

Zi =

σ

µ=0

σ 2 =1
Xi
Población NormalTransformación

Zi
Población Normal Estándar

←-------------------Xi = µ + ziσ
Figura 14. Representación de la transformación de una población normal a una población normal estándar.

89 Ejemplo:

Supóngase que x tiene una distribución normal con media µ = 50 y σ = 15. Calcular la probabilidad de que x tome un valor entre 30 y 65. Solución:
P(30 ≤ x ≤ 65) = P

30 − 50 65 − 50 ≤z≤ 15 15 =...