Distribucion

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DISTRIBUCIÓN MULTINOMIAL

El experimento binomial se convierte en un experimento multinomial si cada prueba tiene más de dos resultados posibles. Por ello la clasificación de un producto fabricado como ligero, pesado o aceptable y el registro de los accidente en cierto crucero de acuerdo con el día de la semana constituyen experimentos multinomiales. Extraer una carta de una baraja conremplazo también es un experimento multinomial si los cuatro palos son los resultados de interés.

En general si una prueba dada puede tener como consecuencia cualquiera de los K resultados posibles E1, E2…Ek con probabilidades P1, P2…Pk entonces la distribución multinomial dará la probabilidad de que E1 ocurra X1 veces, E2 ocurra X2 veces y Ek ocurra Xk en n pruebas independientes donde:X1+X2+…+Xk = n

Denotaremos esta distribución de probabilidad conjunta como:

f (X1, X2…Xk; P1, P2… Pk, n)

Claramente P1+P2+…+Pk = 1 pues el resultado de cada prueba debe ser uno de los k resultados posibles.

Si una prueba dada puede conducir a los k resultados E1, E2,…Ek con probabilidades p1, p2,…pk entonces la distribución de probabilidad de las variables aleatorias X1, X2,…,Xk que representanel numero de ocurrencias para E1, E2,…Ek en n pruebas independientes es:

f(X1,X2,…XK; P1,P2,…PK,n) = (n/X1,X2,…XK) PX11, PX22,…,PXKK
Con: i=1kx1=n y i=1kp1=1.

La distribución multinomial deriva su nombre del hecho que los términos de la expansión multinomial (P1, P2,….PK)n corresponden a todos los posibles valores de

f(X1,X2,…XK; P1,P2,…PK,n)

Ejemplo 1. Si se lanza seis vecesun par de dados ¿cual es la probabilidad de obtener un total de 7 u 11 dos veces, un par igual una vez y cualquier otra combinación tres veces?

Solución:
Listamos los siguientes eventos posibles:
E1: ocurre un total de 7 u 11.
E2: ocurre un par igual.
E3: no ocurre un par ni un total de 7 u 11.

Las probabilidades correspondientes para una prueba dada son p1=2/9, p2=1/6 y p3=11/18. Estosvalores permanecen constantes para todas las seis pruebas. Al usar la distribución multinomial con x1=2, x2=1 y x3=3, encontramos que la probabilidad que se requiere es

f2,1,3;29 ,16,1118,6=62,1,32921611183= 6!2!,1!,3!.2292.16 .113183 =0.1127


Ejemplo 2. De acuerdo con la teoría de la genética, un cierto cruce de conejillo de indias resultará en una descendencia roja, negra y blanca enla relación 8 : 4 : 4. Encuentre la probabilidad de que entre 8 descendientes, a) 5 sean rojos, 2 negros y un blanco, b) 3 sean rojos y 2 sean negros.

Solución:
a)
n = 8
x1 = 5 rojos; p1= prob. Sean rojos = 8/16 = 0.50
x2 = 2 negros; p2 = prob. Sean negros = 4/16 = 0.25
x3 = 1 blanco; p3 = prob. Sean blancos = 4/16 = 0.25
 

 
b)
n=8
x1 = 3rojos; p1 = 0.50
x2 = 2 negros; p2 = 0.25
x3 = 3 blancos; p3 = 0.25 

 

Ejemplo 3.Según una encuesta preliminar acerca del voto que los ciudadanos darán por los candidatos para gobernador del estado se ha detectado que aproximadamente un 52% votará por el partido verde, un 40% por el partido azul y un 8% por los partidos restantes, si se seleccionanaleatoriamente 6 personas con edad de votar, determine la probabilidad de que: a) 2 voten por el partido verde, 1 por el azul y 3 por el resto de los partidos, b) 2 voten por el partido verde y 4 por el azul.

Solución:
a) n = 6
x1= 2 voten por partido verde; p1= prob. de que una persona vote por partido verde = 0.52
x2= 1 vote por partido azul; p2 = prob. de que una persona vote porpartido azul = 0.40
x3= 3 voten por otros partidos; p3 = prob. de que una persona vote por otros partidos = 0.08

 

b)n = 6
x1= 2 voten por el partido verde; p1= prob. de que una persona vote por partido verde=0.52
x2= 4 vote por partido azul; p2 = prob. de que una persona vote por partido azul = 0.40
x3= 0 voten por otros partidos; p3 = prob. de que una...
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