distribuciones

ESTAD´ISTICA
DISTRIBUCIONES
Alberto Luce˜
no
Francisco J. Gonz´
alez

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Copyright c 2003 gonzaleof@unican.es
Actualizado el: 15 de marzo de 2003

Versi´
on 2.00

Tabla de Contenido
2. Distribuciones discretas
3. Distribuciones continuas
Soluciones a los Ejercicios

Secci´
on 2: Distribuciones discretas

3

2.Distribuciones discretas
Ejercicio 66. Suponiendo que cada beb´e tiene una probabilidad 0,51
de ser var´
on, h´allese la probabilidad de que una familia de 6 hijos
tenga:
a). Por lo menos un ni˜
no.
b).

Por lo menos una ni˜
na.

Ejercicio 67. Si la probabilidad de acertar en un blanco es 1/5 y se
hacen 10 disparos de forma independiente, ¿cu´
al es la probabilidad de
acertar por lo menosdos veces?
Ejercicio 68. Demostrar que si la variable aleatoria X tiene distribuci´on binomial (X ∼ Bin(n, p)), se tiene:
µX = np

;

2
σX
= npq.

Ejercicio 69. Se lanza una moneda 500 veces. Estimar la probabilidad de que el n´
umero de caras est´e comprendido entre 240 y 260.
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on 2: Distribuciones discretas

4

Ejercicio 70. En una regulaci´on de calles por sem´
aforos, la luz verde
est´a encendida durante 15 segundos, la luz ´
ambar 5 segundos y la luz
roja 55 segundos. Supongamos que las condiciones de tr´afico inducen
variaciones aleatorias en los tiempos de llegada de los autom´oviles,
de forma que ”llegar cuando el sem´
aforo est´
a verde” es un suceso
aleatorio. Para cinco coches que lleguen en tiempos diferentes eindeterminados, calcular la probabilidad de que:
a). solo tres encuentren la luz verde;
b).

a lo sumo cuatro encuentren la luz verde;

c).

m´
as de uno encuentre la luz verde.

Ejercicio 71. Una firma de pedidos por correo env´ıa una carta a sus
clientes. La probabilidad de que un cliente elegido al azar conteste a
esa carta es de p = 0,1. Hallar:
a). Distribuci´on de probabilidad deln´
umero X de cartas que debe
enviar hasta obtener exactamente 1 respuesta.
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on 2: Distribuciones discretas

5

b).

La esperanza y varianza matem´
atica de la variable X.

c).

Distribuci´on de probabilidad del n´
umero Y de cartas que debe
enviar para obtener exactamente k respuestas.

d).

La esperanza y varianza matem´
atica de lavariable Y .

Ejercicio 72. Una caja con 12 art´ıculos tiene 4 defectuosos. Si se
toma una muestra de 3, en un caso con reemplazamiento y en otro
sin reemplazamiento, ¿cu´al ser´
a la probabilidad de no incluir art´ıculos
defectuosos en la muestra?
Ejercicio 73. Se lanza un dado todas las veces necesarias hasta que
aparece un 6. Si X mide el n´
umero del lanzamiento en que ocurre. Se
pide:a). ¿Qu´e funci´on de probabilidad tiene la variable aleatoria X?
b).

Calcular P (X = 3).

c).

Calcular P (X > 4).

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on 2: Distribuciones discretas

6

Ejercicio 74. Sea X una variable aleatoria geom´etrica de par´ametro
p. Demostrar que:
P (X > a + b|X > a) = P (X > b),
para cualesquiera constantes positivas a y b.
Ejercicio 75. Paracontrolar la natalidad, un pol´ıtico algo exc´entrico,
propone para los nuevos matrimonios la siguiente norma: u
´nicamente
podr´an tener hasta un var´
on y como m´
aximo 5 hijos. Sea X la variable
n´
umero de hijos y V la variable n´
umero de varones de un matrimonio.
Se pide:
a). Probabilidad de que un matrimonio solo tenga un hijo.
b).

Probabilidad de que un matrimonio tenga k hijos.c).

N´
umero medio de hijos por matrimonio.

d).

N´
umero medio de varones por matrimonio.

e).

¿Reduce esta norma la frecuencia de varones en la poblaci´
on?

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on 2: Distribuciones discretas

7

Ejercicio 76. Tres personas A, B, y C lanzan sucesivamente en el
orden A, B, C un dado. La primera persona que saque un 6 gana.
Si p es...