DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

Distribución Binomial

Notación:

MATH

Definición

Es una de las distribuciones de probabilidad más útiles ( control de calidad, producción, investigación). Tiene que ver con el experimento aleatorio que produce en cada ensayo o prueba uno de dos resultados posibles mutuamente excluyentes: ocurrencia de un criterio o característica específico (llamado éxito) y no ocurrencia de éste(llamado fracaso). Los términos o calificativos de "éxito y fracaso" son solo etiquétas y su interpretación puede no corresponder con el resultado positivo o negativo de un experimento en la realidad.

Ejemplo

Éxito podría ser hallar en un ensayo específico que la unidad es defectuosa al examinarla. Cada experimento aleatorio consiste en una serie de ensayos o pruebas repetidas realizadas enidénticas condiciones ($\QTR{bf}{\eta }$ veces), o sea que cada uno de ellos es independiente de los demás.
Sea $\QTR{bf}{\rho }$ la probabilidad de éxito cada vez que el experimento se realiza y MATH $\QTR{bf}{q}$ la probabilidad de fracaso. Sea X la variable aleatoria que representa el número de éxitos en los $\QTR{bf}{\eta }$ ensayos o pruebas. El interés se centra en conocer la probabilidad deobtener exactamente $x$ éxitos en esos $\QTR{bf}{\eta }$ ensayos. $P(X=x).$

Criterios o propiedades para definir la Distribución Binomial
Resumiendo, podemos definir estos criterios:

1- El experimento aleatorio consiste en $\QTR{bf}{\eta }$ ensayos o pruebas repetidas, e idénticas y fijadas antes del experimento (pruebas de Bernoulli). Son pruebas con reemplazamiento o con reposición.

2-Cada uno de los $\QTR{bf}{\eta }$ ensayos o pruebas arroja solo uno de dos resultados posibles resultados: éxito ó fracaso.

3- La probabilidad del llamado éxito (MATH, pemanece costante para cada ensayo o prueba.

4- Cada prueba o ensayo se repite en idénticas condiciones y es independiente de las demás.

Cuando estas propiedades se cumplen en el experimento aleatorio se dice que elconstituye un proceso de Bernoulli y cada uno de los ensayos que lo conforman se llama experimento de Bernoulli.

5. El interés recae en hallar la probabilidad de obtener $x$ número de éxitos al realizar $\QTR{bf}{\eta }$ ensayos del mismo E.A.

La función de probabilidad de X en esas condiciones será:

MATH

Para $\QTR{bf}{\eta }$ entero $\ $y MATH

Planteamiento Básico

Supongamos un procesoproductivo en serie de una misma unidad metalmecánica y en él que: Probabilidad de una unidad defectuosa : MATH y probabilidad de unidad no defectuosa: MATH.

Supongamos que el interés está en evaluar el proceso mediante una muestra aleatoria de 4 unidades y por tanto se define la v.a X como el número de unidades defectuosas en la muestra. Para garantizar que los ensayos resulten independienteshacemos la selección con reemplazamiento o sustitución.

Supongamos que centramos nuestro interes en $x=1$ unidad defectuosa en las cuatro pruebas o ensayos. Sea B=bueno y D= defectuoso. Por lo tanto el $\ \Omega $ esta conformado por 16 resultados posibles

$S=\{BBBB,$ $BBBD,$ .....$,$ $DBDD,$ $DDDD\}.$

Se puede entonces notar que los eventos favorables a $x=1$ constiuyen el subconjuntoMATH. Como no importa el orden de aparición de la unidad defectuosa sino que aparezca exactamente una unidad con esa característica tenemos:

MATH o sea: MATH para cada posible resultado de una unidad defectuosa

Como son cuatro resultados los que satisfacen el interés específico de una unidad defectuosa entonces

MATH

Si generalizamos: MATH donde: $\binom{n}{x}$ son las distintas manerascomo $x$ éxitos se producen dentro de los $\eta $ ensayos; MATH es la probabilidad de $x$ éxitos en cada una de las maneras distintas de producirse los $x$ éxitos .

Para el caso del ejemplo: MATH

Consideremos el caso ya no de $x=1$ defectuoso; sino todos los valores que puede asumir X en las cuatro pruebas.

MATH

MATH

MATH

MATH

MATH

Como son 4 ensayos y consideramos todos...