Ditribuciones

Varios procesos o sistemas físicos pueden presentar un modelo de resultados mediante experimentos aleatorios y variables aleatorias iguales o muy similares.
La distribución de las v.a. de estos sistemas comunes puede analizarse y la información obtenida ser usada en otras aplicaciones. Conoceremos algunos modelos mas frecuentes generados por variables aleatorias discretas

DISCRETASDISTRIBUCION UNIFORME DISCRETA
Es la mas simple de todas las distribuciones. La variable aleatoria toma cada uno de sus valores con una probabilidad idéntica (equiprobable).

DISTRIBUCION UNIFORME DISCRETA
Codificación

UD(i,j)

U(x;k)
1 k

Distribución de probabilidad

 1 si x  {i, i  j ,..., j}  p( x)   j  i  1 0 en otro caso 
0 si x  1   x  i 1 F ( x)     en otro caso j  i 1 1 si x  j 

Distribución acumulada

Una distribución uniforme es simétrica, no tiene moda y su mediana es igual a la media.
El histograma de la función toma el aspecto de un rectángulo, por ello, a la distribución uniforme se le suele llamar distribución rectangular.

Rango

{i, i + 1,…,j} i y j son números enteros, con i < j Parámetro de localización: i Parámetro deescala: j – i
1 i  j  2 1  j  i  12  1 12

Parámetros

Media Varianza

x
k

i





 x

i

  k

2

1

DISCRETAS

EJEMPLO:
Cuando se selecciona un foco al azar de una caja que contiene un foco de 40 watts, uno de 60 watts, uno de 75 watts y uno de 100 watts, cada elemento del espacio muestral tiene lamisma probabilidad de ser seleccionado. Distribución deprobabilidad:
f ( x; k )  1 k 1 f ( x;4)  4

Media:


x
k

i



40  60  75  100 275   68 .75 4 4

Varianza:

DISTRIBUCIÓN DE BERNOULLI
Experimento o proceso en donde solo son posibles dos resultados: éxito o fracaso.
Podemos definir una v.a.d. X tal que: éxito  1 fracaso  0 Si la probabilidad de éxito es p y la de fracaso q=1-p, podemos construir una función deprobabilidad:

2 

(40 - 68.75) ²  (60 - 68.75) ²  (75 - 68.75) ²  (100 - 68.75) ² 4

 2  479.68

Histograma:

P( X  x)  p x q1 x
Evidentemente:
1

x  0,1

 P( X  x)  P( X  0)  P( X  1)  p  q  1
x 0

2

ESPERANZA Y VARIANZA DE LA DISTRIBUCIÓN DE BERNOULLI.

DISCRETAS

DISTRIBUCION DE BERNOULLI
Codificación

Con probabilidad de éxito p
Media: E[ X ]    x P ( X  x )
x 0 1

BE(p)

Distribución de probabilidad

 0  P( X  0)  1 P( X  1)  p
Varianza: Var ( X )  E[ X ]  ( E[ X ])
2 2
Distribución acumulada

1  p si x  0  p( x)   p si x  1 0 otro caso 
si x  0 0  F ( x)  1  p si 0  x  1 1 si x  1 
{0,1} p є (0,1) p

Var ( X )   x 2 P ( X  x)  p 2
Var ( X )  0  P( X  0)  12  P( X  1)  p 2 Var (X )  p  p  p (1  p )  pq
2

1

Rango Parámetros

x 0 2

Media
Varianza

p(1 – p)

DISCRETAS

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
Histograma: La distribución binomial aparece cuando estamos interesados en el número de veces que un suceso A ocurre (éxitos) en n intentos independientes de un experimento. El experimento consiste en una sucesión de N intentos o ensayos o procesos Bernoulli yse relaciona con una experimento de etapas múltiples. En cada intento o ensayo son posibles dos resultados, a uno lo llamaremos éxito y al otro fracaso.

3

DISCRETAS

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
La probabilidad de un éxito, se representa por p y no cambia de un intento al otro. Por lo tanto la probabilidad de un fracaso se representa por (1-p), que tampoco cambia de un intento a otro.
Losintentos o ensayos son independientes.
La distribución de probabilidad P(X = k) será:

DISTRIBUCION DE BINOMIAL
Codificación

BI(N,p)

Distribución de probabilidad

N!  p x (1  p) N  x si x  0,1,2,...,N  p( x)   x!( N  x)! 0 otro caso 
0  x N!  F ( x)   p i (1  p) N i i  0 i!( N  i )!  1 
{0,1,…,N} N es un número entero p є (0,1) Np Np(1 – p)

si x  0 si 0  x...