Divisivilidad

1-Divisibilidad

Daremos el concepto de divisibilidad y estudiaremos algunas cuestiones que de él se deriven.

Definición: Dado un entero p, diremos que el entero no nulo q es divisor de p si existe un número entero r tal que: p = q.r
Con el símbolo q ( p indicaremos que q es divisor de p. En caso contrario escribiremos: q ( p.

Otras maneras de expresar “ q es divisor de p” son lassiguientes “p es múltiplo de q”, “q divide a p”, “ p es divisible por q”.

Por ejemplo:
a) 12 es divisor de 252, pues 252=12(21,
b) 252 es múltiplo de –7, ya que 252=(-7)((-36).

Observemos además que en la relación de arriba los roles de q y r son idénticos, por lo que también r es un divisor de p( r no nulo).
Puesto que trabajaremos continuamente con la definición anterior, es convenientehacer algunos comentarios acerca de la misma.

• La notación q ( p indica una relación entre p y q , y no una operación entre ambos.
• Si q=0, es claro que su único múltiplo es cero . En caso contrario, q admite infinitos múltiplos. Ellos son 0, ± q, ±2q,.......... resultando que hay tantos múltiplos de q como números enteros. Observemos también que cero es múltiplo de cualquier entero.
•Todo número entero no nulo p tiene un número finito de divisores (demostrar)
• a (Z, a(0 ( a(a.b
• 1(a, (a(Z
• a ( (a + 1), (a(Z ( a > 1

Proposición: Sean a, b, c números enteros, entonces:

a) Si a(b y b(c entonces a(c
b) Si a (( y a(1 entonces a=1
c) Si a(b y b(a entonces a=b ó a=-b
d) Si a(b y a(c entonces a( (mb + nc), ((Z
(Demostrar)

2- División entera

Desde la escuelaprimaria el alumno conoce el procedimiento mediante el cual obtiene, a partir de dos números naturales a y b, otros dos números naturales c y r, llamados respectivamente cociente y resto de la división de a por b. La división entera es un hecho de gran importancia en la Teoría de Números, tanto por sus consecuencias prácticas como teóricas. Entonces debemos comprender perfectamente su significadoy sus alcances.

Teorema 2.1: (Existencia de algoritmo de división entera)

Dado dos números naturales a y b, existe un único par de enteros c y r – que llamaremos cociente y resto de la división entera de a por b, respectivamente- satisfaciendo las siguientes condiciones:

D1: a = c.b + r

D2: 0( r < b

(ver demostración)

Observación: De la relación D1 sigue inmediatamente laigualdad a = c. + r

b b
Por otro lado de D2, se tiene que 0 ( r < 1. Luego el cociente c de la división
b
entera de a por b no es otra cosa que la parte entera del número racionala
b

Corolario 2.1.1: Sean a,b ( Z, b(0. Existen únicos c y r tales que a = c.b + r

0( r < (b(

Demostración: Sean c y r tales que a = c.(b( + r, 0( r < (b(

Si b > 0 está probado por el teorema anterior

Si b < 0, (b(= -b, luego a = b.(-c) + r, 0( r < (b( ,lo que prueba la existencia de c y r

Se deja como ejercicio la prueba de la unicidad

Proposición 2.2:

Dos números arrojan el mismo resto al ser divididos por n si y sólo si su diferencia es un múltiplo de n (demostrar).

3- Cálculo de restos

Si r1 y r2 son , respectivamente, los restos de dividir dos enteros b y c por un entero a, veamos como podemos calcular los restos de dividirpor a los números b + c, b – c, b.c, etc. Para agilizar el lenguaje, introducimos la siguiente notación: dado un número entero x, designaremos por ra (x): el resto de dividir x por a

Tratemos simultáneamente los casos de la suma y la diferencia. Si b=q.a + r1 y c=p.a + r2 , sumando o restando estas expresiones, tenemos:

b(c = qa (pa + (r1 ( r2 ) =(q ( p).a + (r1 ( r2 ) (1)

De (1) y...