Doble integracion

PENDIENTE-DEFLEXIÓN
POR EL MÉTODO DE LA DOBLE INTEGRACIÓN
Arq. Juan F. Rodríguez
PROBLEMA: Para la viga simplemente apoyada en sus extremos que se presenta en la siguiente figura determinar:
1.
2.
3.

Su desviación angular máxima.
La flecha a la mitad de su longitud.
La desviación tangencial máxima.

Las NOTAS y sugerencias de solución aparecen en color marrón.

Se deben escribirlas fracciones en la forma siguiente y no como aparece en el dibujo.
w := 90.00⋅

PASO 1. Nomenclatura y curva elástica aproximada:

kg
m

Nomenclatura: En el caso de vigas, se utilizará una letra mayúscula para cada apoyo y/o
extremo de la misma, sin tomar en cuenta las cargas aplicadas.
Se traza la curva que represente la deformación de la viga considerando las cargas
aplicadas y lagráfica de momentos.

θA

θB

PASO 2. Convención de signos:
Por lo menos se anotarán las que se ven para la solución de este problema. Lo que se
mueve verticalmente hacia arriba, hacia la derecha y lo que gire siguiendo el sentido de reloj,
se consideran positivos. Siempre encierre los signos resultantes con un círculo por ser solo
el resultado según la convención y no necesariamente larespuesta física.

PASO 3. Calcular las componentes de reacción:
Según las ecuaciones de equilibrio estático:
1.
2.
3.
4.

ΣFH = 0 = RXA

por lo tanto, la componente horizontal en la articulación A será:

ΣM A = 0 =  90.00⋅




kg 

 ⋅ ( 3.00⋅ m) ⋅ ( 4.50⋅ m) − RYB⋅ ( 6.00⋅ m)

m

ΣM B = 0 = RYA⋅ ( 6.00⋅ m) −  90.00⋅




ΣFV = 0

Utilizar la suma de fuerzashorizontales, obteniendo así, las componentes de reacción
horizontal.
Hacer suma de momentos en el apoyo izquierdo, para determinar la componente
vertical del apoyo derecho.
Luego, establecer la suma de momentos en el apoyo derecho para calcular la
componente vertical del apoyo izquierdo.
Hacer una suma de fuerzas verticales, para comprovar los resultados.

kg 

 ⋅ ( 3.00⋅ m) ⋅ ( 1.50⋅ m)m

ΣFV := RYA −  90.00⋅




kg 

 ⋅ ( 3.00⋅ m) + RYB

m

RXA = 0.00⋅ kg

de donde:

RYB := 202.50⋅ kg

entonces:

RYA := 67.50⋅ kg

como:

ΣFV = 0.00 kg

Hay equilibrio estático, correcto!

PASO 4. Escribir la ecuación de momentos válida para toda la viga:
Para establecer las ecuaciones de momento, se hace un corte en la longitud de la viga
despues decada cambio de carga. La ecuación de momentos válida para toda la viga será
la que ocurra según el último corte.
Según el corte b-b' del interválo:

En los casos de vigas simétricas en carga y estructura, solo se deberá trabajar con la viga
hasta el eje de simetría longitudinal.

3.00 ≤ x ≤ 6.00
M = 67.50⋅ x − 45 ( x − 3 )

2
2

PASO 5. Reemplazar "M" por:

EI⋅

dy
dx

2Observese que las cantidades dentro del paréntesis no se alteran, y representan una
distancia que siempre será real y positiva.

2

EI⋅

dy
dx

2

= 67.50⋅ x − 45 ( x − 3)

2

Recordar que "E" representa el material de la viga y es el valor del módulo elástico. "I" es el
momento de inercia que considera las dimensiones de la sección transversal de la viga, su
forma y la colocación dela misma.

PASO 6. Integrar la ecuación [5], para encontrar la ecuación de la desviación angular "θ" (pendiente):

EI⋅

dy
dx

2

3

= 33.75⋅ x − 15 ( x − 3) + C1

Se integra cada término y se suma una primera constante de integración.

PASO 7. Integrar la ecuación [6], para encontrar la ecuación de la desviación tangencial "y" (deflexión):
3

EI⋅ y = 11.25⋅ x −

15
4

4( x − 3 ) + C 1⋅ x + C 2

PASO 8. Considerando las condiciones de frontera se determinan las constantes de integración C1 y C2 :
Si se tiene un apoyo en el punto "A", las condiciones de frontera por deformación serán:
Cuando x = 0.00 m

θ≠0
y := 0

A una distancia x, sólo pueden ocurrir dos efectos por deformación. La pendiente "θ" (ángulo
respecto a la horizontal), tiene o no tiene...