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BIBLIOTECA CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES QA405 G65

UNIVERSIDAD DE SONORA

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EL SABER DE MIS HIJOS HARÁ MI GRANDEZA

DIVISIÓN DE CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS

ESTUDIOS ANALÍTICOS DE LA ECUACIÓN DE MATHIEU

TESIS
Que para obtener el título de:

LICENCIADO EN MATEMÁTICAS
Presenta JUAN CARLOS GONZÁLEZ AISPURODirectora de Tesis:
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DRA. INNA K. SHINGAREVA

Hermosillo, Sonora, México

Febrero 2007

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I° TECA
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Estudios Analíticos de la Ecuación de Mathieu

Juan Carlos González Aispuro

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Este trabajo está dedicado a muchas personas, principalmente a

Doña Martha y Don Humberto,
mis padres, y a toda mifamilia, también una dedicación especial y agradecimiento a mi directora de tesis y amiga, la

Dra. Inna Konstantinovna Shingareva,
gracias por su paciencia y por su tiempo a la hora de la realización de este trabajo.

También este trabajo está dedicado a mi hermano y mis amigos de toda la vida,

el Mayque, el Charly, el Jechu, Mario, el Rancho y el Mayoral
y por su puesto, a mis amigosmatemáticos,

Rita, Jesaica, Marysol, Enrique, Mishael (ambos), Eduardo, Miguel, Manuel, el Niño, Angelito, Salomón, Inés,
en fin a todos lo que tuve la oportunidad de conocer a lo largo de la carrera, a todos ellos gracias por brindarme su amistad. Tampoco puedo dejar de agradecer y dedicar este trabajo a uno de mis maestros favoritos al que considero un amigo, el

Dr. Martín Gildardo GarcíaAlvarado,
gracias por ser como es.

Prefacio
Este trabajo trata sobre un estudio analítico de la ecuación de Mathieu. Se trabaja en esta ecuación en diferentes aspectos, llamense Teoría de Floquet aplicada a sistemas lineales y diversas propiedades de estos, las cuales serán de mucha ayuda para llegar a uno de los teoremas más importantes de esta teoría: el Teorema de Floquet—Lyaponov, Teoría deperturbaciones aplicada a la ecuación de Mathieu, y la aplicación de álgebra computacional con la cual se resolverán problemas que servirán para investigaciones futuras y aplicaciones de los conocimientos recién adquiridos. El objetivo de este trabajo es dejar una idea de cómo es el comportamiento, las soluciones y las aplicaciones de la ecuación de Mathuieu También daremos una introducción altema basto de las funciones de Mathieu para que el lector sepa de la importancia de estas funciones especiales tanto como soluciones de la ecuación y sus aplicaciones, ya que la ecuación de Mathieu tiene muchas aplicaciones en Física. En el Capítulo 1 se da una reseña histórica de cómo se llega a la ecuación de Mathieu, mediante la Teoría lunar de Hill y el péndulo de longitud variable. Tambiénhablamos un poco de historia acerca de las funciones de Mathieu y temas históricos relacionados y por último damos una introducción de álgebra computacional utilizando el sistema Maple. En el Capítulo 2 se estudian sistemas lineales, damos unas propiedades de. estos sistemas y resolvemos algunos problemas relacionados. Demostramos unos de los teoremas más importantes de la Teoría de Floquet que es elTeorema de Floquet—Lyaponov y terminamos con una introducción a la Teoría 5

6 .de perturbaciones, ya que se aplicará más adelante. Para el Capítulo 3 vemos la Teoría de Floquet aplicada a sistemas lineales de una dimensión y sistemas multidimensionales. Hablaremos de resonancia paramétrica con el ejemplo del columpio y también daremos una referencia histórica de exitación paramétrica con OBotafumeiro en la edad media. Al igual que en el Capítulo 2 se resolverán algunos problemas para dejar en claro los conceptos. En el Capítulo 4 estudiamos a grandes rasgos la ecuación de Mathieu, desde la ecuación de Hill, hasta sus soluciones, es decir, las funciones de Mathieu, pasando por casos como la ecuación de Mathieu amortiguada y un estudio de Teoría de perturbaciones para esta ecuación en...