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Hoja de ejercicios No. 7

Transformada de Fourier
1. Consideremos una señal arbitraria de dos variables, f (t, z). Estudiar las expresiones de las transformadas directa e inversa de Fourier para dicha señal4 , Z Z 1 f (t, z) = F (ω, k)ejωt e−jkz dk dω. (38) (2π)2 ω k Z Z f (t, z)e−jωt ejkz dz dt. (39) F (ω, k) =
t z

Identificar las funciones base de esta tranformada, y analizar las partesreal e imaginaria de dichas funciones base. Identificar sobre ellas la razón del cambio de signo en las funciones base para t y z. 2. Obtener y representar la transformada de Fourier de la siguiente función de buen comportamiento, r π −ξ2 /4a −ax2 f (x) = e ↔ F (ξ) = . (40) e a Analizar además: a) El ancho de las funciones en ambos dominios y relacionarlos. b) Comprobar las propiedades asociadas alhecho de que f (x) sea una función real. c) Obtener la energía de la señal en ambos dominios (real y espectral). 3. Utilizando propiedades de la transformada de Fourier, comprobar si el siguiente par transformado es correcto, 1 π f (x) = 2 ↔ F (ξ) = e−bξ . (41) x + b2 b Obtener, en su caso, el par tranformado correcto y analizar sus propiedades en ambos dominios. 4. Analizar, demostrar yrepresentar las Propiedades de la Transformad de Fourier de la Sección 5., Transformada de Fourier, de las Tablas de Sistemas Lineales. 5. Analizar, demostrar y representar las Transformadas de Señales Importantes de la Sección 5., Transformada de Fourier, de las Tablas de Sistemas Lineales. 6. Analizar y comparar el proceso de obtención de la TdF de Γ(x) expuesto en clase en base a la teoría dedistribuciones, con el empleado en Signals and Systems. A. V. Oppenheim & A. S. Willsky. 7. Consideremos un tren periódico de pulsos unitarios de período T0 centrado en el origen de tiempos. Se pide: a) Obtener la función f1 (t) de duración finita definida a partir del tren de pulsos, considerando un intervalo hT0 i = [0, T0 ]. Realizar su representación y obtener su función espectral F1 (ω). b) Obtener lafunción f2 (t) de duración finita definida a partir del tren de pulsos, considerando un intervalo < T0 >= [T0 /8, T0 + T0 /8]. Realizar su representación y obtener su función espectral F2 (ω). c) Comprobar que: (i) F1 (ω) 6= F2 (ω); (ii) F1 (mω 0 ) = F2 (mω 0 ); (iii) los coeficientes del desarrollo 1 1 en serie de la señal periódica original, am = X0 F1 (mω 0 ) = X0 F2 (mω 0 ). d) Obtener yrepresentar el espectro de la función periódica original F0 (ξ).
4 La

notación

x

dx identifica siempre

∞ x=−∞

dx.

17

8. Algunos ejercicios recomendados de Signals and Systems. A. V. Oppenheim & A. S. Willsky (edición antigua): Señales periódicas y aperiódicas, Desarrollos en Serie y Transformadas de Fourier, análisis espectral de sistemas: (a) Ejercicios 4.1, 4.2, 4.3, 4.4, 4.5, 4.6,4.7, 4.13, 4.14, 4.15 y 4.16. (b) Ejercicios 4.17, 4.18, 4.21, 4.22, 4.23, 4.24, 4.30, 4.31, 4.34, 4.37 y 4.40. 9. Ejemplo de análisis espectral: Modulación en amplitud en el tiempo. Sea f (t) una función arbitraria de longitud infinita y energía finita, es decir, E [f (t)] < ∞. Consideremos dicha señal a la entrada de un sistema como el mostrador en la Fig. 8. Se supone que la señal p0 (t) = cos(ω 0t) es de pulsación fija, esto es, de período X0 fijo de forma que la señla de salida vendrá dada por, g(t) = f (t) cos(ω 0 t). (42)

Figura 8. Representación esquemática de un sistema modulador de amplitud. La señal portadora viene dada por la señal periódica p0 (t) = cos(ω0 t), siendo f(t) la señal moduladora.

Se pide: a) Analizar las propiedades del sistema en el dominio real (linealidadinvarianza, etc). Determinar, si fuera el caso, la respuesta al impulso de dicho sistema. Analizar y representar la señal de salida g(t) para una señal arbitraria f (t). b) Analizar el sistema en el dominio espectral ω. Obtener el espectro de la señal de salida G(ω) y su representación. Estudiar la relación del espectro G(ω) de la señal de salida con el de la señal de entrada F (ω). c) Analizar el...
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