Dtf de fourier

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INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL

Unidad Profesional Interdisciplinaria en Ingeniería y Tecnologías Avanzadas

Comunicaciones II

Profesor: M. en C. Lucas Bravo Andrés

Estudiante: Piña Arellano Ricardo

Práctica 4

Transformada Discreta de Fourier

Fecha de realización: 26-Septiembre-2010

Fecha de entrega: 30-Septiembre-2010

Grupo: 5BV1

Semestre B

INTRODUCCIÓN

Se habíavisto anteriormente que una señal periódica puede representarse por una superposición de funciones exponenciales sobre todos los reales. Sin embargo para una señal no periódica esto no puede realizarse.

En la práctica anterior, se había visto que para una señal periódica existe su correspondiente serie de Fourier y su DTFT, sin embargo no existe una relación directa entre la serie de Fourierde esa señal con su DTFT, lo que si se cumple es que ambas representan una suma infinita o finita de frecuencias a partir de las cuales puede formarse la señal original en el mismo espacio en el que esta o en el espacio de la frecuencia.

En ocasiones necesitamos que una señal no periódica discreta y finita, sea representada como una serie de Fourier esto es para poder manejarla más fácilmentepues la era de la información hace que todo se discretice y se vea como una matriz de datos, entonces, es cuando necesitamos que ese tipo de señales se puedan representar, y para esto hay que hacer que las señales con esas características se vuelvan periódicas en algún entero N∈Z≠0, pero hay que escoger a N tal que N>m donde m es el número de muestras que componen a la señal original discreta yfinita no periódica, ya que esta inecuación hace que la señal original tenga el periodo suficiente para poder expresarse como una suma de exponenciales armónicamente relacionadas también para modelarse en el espacio de la frecuencia, ya que con ese periodo puede recuperarse completamente aunque entre mayor sea el periodo al número de muestras más similitud tendrá la serie y su la generación delespectro con sus correspondientes originales.

En teoría de las comunicaciones existe otra forma de obtener la transformada de Fourier sin pasar por la DTFT, es decir esto es pasar de los coeficientes usados al extraer la serie de Fourier de una señal periódica o hecha periódica al espectro, a esta relación de transformación se le conoce como DFT, o Transformada Discreta de Fourier. Se puedeutilizar la DFT para representar una señal muestreada en términos de un conjunto finito de exponenciales complejos. Y para esto, cabe decir que se hace una conveniencia en la nomenclatura usada hasta el momento, ya que ahora es preciosa definir la serie y sus correspondientes coeficientes x[k] de una señal x[n] periódica como sigue:

xn≔1Nk=0N-1xke-j2πNkn

donde xk≔ n=0N-1x[n]ej2πNkn

Ahorarecordemos cómo se definía el espectro de una señal finita x[n]:

Xejω≔n=-∞+∞x[n]e-jωn

Si observamos con detenimiento podemos establecer una relación entre el espectro Xejω con los coeficientes xk ya que ambos están definidos en todo el espacio real, (finito o no finito). Esta nueva relación está dada como sigue:

xk≡Xejω⇔ω=2πNk
Entonces podemos decir que la transformada discreta de Fourierrepresenta muestras equidistantes del espectro continuo Xejω y la separación de estas muestras es igual a 2πN. Entonces la idea principal de esta transformada, es no tomar todo el espectro continuo, sino hacer periódica la señal finita con el periodo que nosotros consideremos adecuado ya que este criterio en la práctica resulta lo más útil al desarrollar e implementar algoritmos más fáciles para eltratamiento de señales digitales.

Si examinamos con detalle la relación lineal, establecida anteriormente podemos afirmar que los coeficientes x[k] representan muestras del espectro original y que mediante estos coeficientes podemos generar el espectro.

Las propiedades de esta transformada son análogas a las de la transformada de Fourier continua.
DESARROLLO Y CÓDIGO EN MATLAB
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