Dualidad interpretacion economica

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Investigación de Operaciones

Programación Lineal (PL)

Dualidad Interpretación económica. Problema dual: precios sombra y pérdida de oportunidad. Propiedad de las holguras complementarias
1

Formulación del Problema de PL en Términos de Actividades. Ejemplo Prototipo.
Actividad Principal P1- producción de puertas por minuto
Maximizar Z=3x1+ 5 x2 sujeto a

Investigación de OperacionesActividad Auxiliar P3- no utilización de la capacidad de producción de la sección 1 por minuto Actividad Auxiliar P5- no utilización de la capacidad de producción de la sección 3 por minuto

1 x1 0 + x2 3

0 0 1 0 4 2 + x3 0 + x4 1 + x 0 = 12 5 0 2 0 1 18

x 1, x 2 , x 3 , x 4 , x 5 ≥ 0
Actividad Auxiliar P4- no utilización de la capacidad de producción de la sección 2 por minuto
2Actividad Principal P2- producción de ventanas por minuto

Las variables xj corresponden a los niveles de las actividades

1

Investigación de Operaciones

Ejemplo Prototipo. Problema Primal. Interpretación Económica de las Variables.
variables de decisión: x1 - nivel de producción de las puertas por minuto; x2 - nivel de producción de las ventanas por minuto;

unidad de medida: unidadfísica

variables de holgura: x3 - capacidad de producción no utilizada en la 1ª sección, por minuto. x4 - capacidad de producción no utilizada en la 2ª sección, por minuto. x5 - capacidad de producción no utilizada en la 3ª sección, por minuto.
unidad de medida: unidad física

función objectivo → max: Maximizar la ganancia total por minuto.
unidad de medida: unidad monetária (Pesos)

3Investigación de Operaciones

Interpretación Económica del Problema Dual. Precios Sombras.
El valor de la f.o. indica el valor total asignado a los recursos

minimizar w = 4 yy + 12 yy + 18 yy minimizar w = 4 11 + 12 22 + 18 33 ≥ 3 ≥ 3 ≥ 5 ≥ 5

Las variables de decisión duales y1 , y2 , y3 son valores unitarios a asignar a cada recurso y son interpretadas como la contribución a la gananciatotal por cada unidad del recurso i utilizada. Estos son precios internos, también conocidos como precios sombra

yy1 1 2 yy2 2 2

+ 3 yy3 + 3 3 + 2 yy3 + 2 3

yy1, ,yy2, , yy3≥ 0 1 2 3 ≥0

4

2

Investigación de Operaciones

Ejemplo Prototipo: Recurso 1. Precios Sombras. Representación Gráfica.
x2
z*= 3x 1 + 5 x 2 = 36
8 3x 1 + 2 x 2 = 18 x1 = 4

yy**= 0 11 = 0 Si seincrementa la Si se incrementa la capacidad de producción capacidad de producción de la sección 1 en 1 de la sección 1 en 1 unidad unidad ((b 1 = 5 )) el valor óptimo b 1 = 5 el valor óptimo ((z*=36 ))no cambia. z*=36 nocambia cambia. Este recurso es Este recurso es abundante abundante (("gratis") "gratis")

6

X*=(2, 6)

x2 = 6

4

Región Factible
2

x1 = 5

2

4

6

x1

5Investigación de Operaciones

Ejemplo Prototipo: Recurso 2. Precios Sombras. Representación Gráfica.
x2
z*= 3x 1 + 5 x 2 = 37 1/2
8 x1 = 4

z*= 3x 1 + 5 x 2 = 36

X*=(5/3, 13/2)
6

x 2 = 13/2 x 2 = 12/2=6

yy**=3/2 22 =3/2 Si se incrementa la Si se incrementa la capacidad de capacidad de producción de la producción de la sección 2 en 1 unidad sección 2 en 1 unidad ((b 2 = 13 )) el valor b2 = 13 el valor óptimo será óptimo será incrementado en 3/2 incrementado en 3/2 Pesos ((z*=37 ½ ). . Pesos z*=37 ½)). Este recurso es escaso. Este recurso es escaso.

4

Región Factible
2 3x 1 + 2 x 2 = 18

2

4

6

x1

6

3

Investigación de Operaciones

Ejemplo Prototipo. Recurso 3. Precios Sombras. Representación Gráfica.
z*= 3 x1 + 5x 2 =3 z*= 7 3x 1 +5 x2 = 36

x2
8x1 = 4

yy**=1 33 =1 Si se incrementa la Si se incrementa la capacidad de capacidad de producción de la producción de la sección 3 sección 3 en 1 unidad en 1 unidad ((b3 = 19) el valor b3 = 19) el valor óptimo será óptimo será incrementado en 1 Peso incrementado en 1 Peso ((z*=37 )). . z*=37 Este recurso es escaso. Este recurso es escaso.

6

X*=(7/3, 6)
x 2 = 12/2=6

4

Región...
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