Dualidad

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Definiciones básicas
Sea B un conjunto en el cual se han definido dos operaciones binarias, + y *, y una operación unitaria, denotada; sean 0 y 1 dos elementos diferentes de B. entonces a laséxtupla se le llama algebra de boole si se cumplen los siguientes axiomas para elementos a, b, c cuales quiera en el conjunto de B:
[B1] leyes conmutativas:
(1ª) a + b = b + a
(1b) a * b = b * a
[B2]leyes distributivas:
(2ª) a + (b * c) = (a + b) * (a + c)
(2b) a * (b + c) = (a * b) + (a * c)
[B3] leyes de identidad:
[3a) a + 0 = a
(3b) a * 1 = a
[B4] leyes de complemento:
(4ª) a + a = 1(4b) a * a = 0

Al elemento 0 se le llama elemento cero, al elemento 1 se le llama unidad, A los resultados de las operaciones + y * se les llama respectivamente suma y producto. Frecuentementeomitimos el símbolo *, usando de en lugar yuxtaposición. Entonces, (2b) y (2c) se escriben:
(2b) a(b + c) = ab + ac (2ª) a + bc = (a+ b) (a + c)
La primera es laidentidad familiar, pero la segunda no es una identidad de algebra ordinaria adoptamos la convención usual de que, a no ser que se indique otra cosa con paréntesis, tiene precedencia sobre *, y * tieneprecedencia sobre +.

Ejemplo
(a) Sea B el conjunto de dos elementos, {0, 1} con operaciones + y * definidas. Supongamos que los complementos se define por 1 = 0 y 0 = 1. B es entonces un algebra deboole.
(b) Ahora una generalización de (a). sea Bn el conjunto de sucesión de n bits. Define la suma, producto y complementos de estas sucesiones bit por bit como en (a).
(c) Sea II el conjunto delas proposiciones. II las preposiciones en II que son lógicamente equivalente o sea que tiene la misma tabla de verdad, se toman como idénticas. Una contradicción f es el cero, y una tautología t es elelemento de unidad.

dualidad
El dual de cualquier enunciado en un algebra de boole B es el enunciado obtenido al intercambiar las operaciones +y *, e intercambiar las correspondientes...
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