Durbin wattson

Análisis de Autocorrelación

J.M. Arranz , M.M. Zamora

ANÁLISIS DE AUTOCORRELACIÓN

1.

DEFINICIÓN Y CAUSAS DE AUTOCORRELACIÓN

En este tema se cuestionar, para los modelos que trabajan con datos de series de tiempo, una de las hipótesis que definen el Modelo de Regresión Lineal Normal Clásico (MRLNC). En concreto se analiza la hipótesis que establece que el vector de perturbacionessigue una distribución según un vector normal esférico. E (ut ) = 0 E (u t2 ) = σ 2 = γ 0 E (u t ut + S ) = 0 ∀ s ≠ 0

La hipótesis de covarianzas nulas es muy interesante desde el punto de vista de las propiedades deseables para los estimadores mínimo cuadráticos ordinarios, pero con frecuencia esta hipótesis es difícil de aceptar en la práctica, en especial cuando las observaciones se suceden enel tiempo. Este problema lo reflejó Malinvaud1 (1964) señalando que: “... existe a menudo una correlación positiva entre los términos de perturbación separados s periodos debido al hecho de que los factores no identificados del fenómeno actúan con una cierta continuidad y afectan frecuentemente de análoga manera dos valores sucesivos de la variable endógena.”

Entre los factores noidentificados señalados por Malinvaud podría encontrarse un error en la especificación de la forma funcional del modelo y la omisión de variables relevantes que puede dar lugar a un comportamiento sistemático de los residuos que podría interpretarse como autocorrelación cuando en realidad se corrige al especificar correctamente el modelo.

En los casos de incumplimiento de la hipótesis de no autocorrelaciónes necesario formular el modelo de regresión de un modo más general prescindiendo de esta hipótesis; este modelo recibe el nombre de modelo de regresión lineal generalizado y su estimación se realizará aplicando métodos distintos al de mínimos cuadrados ordinarios.

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2.

MODELIZACIÓN DE LA VARIABLE DE PERTURBACIÓN ALEATORIAMatemáticamente este supuesto de autocorrelación se expresa a partir de la hipótesis que hace referencia a la covarianza de la perturbación que, como se ha señalado es no nula. E (u t u t + S ) ≠ 0 s = 0, ± 1, ± 2, ...

se está considerando que el término de perturbación de una observación está relacionado con el término de perturbación de otras observaciones y por lo tanto la covarianza entre ellos esdistinta de cero y se define como, E (u t ut + S ) = γ S s = 0, ± 1, ± 2,...

Esto es las covarianzas —o autocovarianzas— son simétricas en el retardo s e independientes del tiempo2.

A partir de estas autocovarianzas se pueden definir los coeficientes de autocorrelación; así, el coeficiente de autocorrelación del retardo s es, ρS = Cov(u t , u t + S ) Var (u t )Var( ut + S )

Bajo elsupuesto de homocedasticidad —varianzas de la perturbación constantes en el tiempo— el coeficiente de autocorrelación se puede expresar como: ρS = γS γ0 s = 0, ± 1, ± 2, ...

El modelo que ahora se estudia es por tanto un Modelo de Regresión Lineal Generalizado con autocorrelación y verifica todas las hipótesis del modelo de regresión lineal normal clásico excepto la que hace referencia a la nulidadde las covarianzas de la perturbación. Este nuevo modelo, en el que se supone que no hay problemas de heterocedasticidad, queda especificado como, Y = Xβ + u donde u  N 0,σ 2 Ω →

(

)

Dado que se admite la existencia de autocorrelación pero no de heterocedasticidad la matriz de varianzas y covarianzas de la perturbación - σ2 Ω - presenta los elementos de la diagonal principal constantes.Es decir, la matriz de varianzas y covarianzas de la perturbación es de la forma,

1 2

Malinvaud, E. (1964) “Méthodes Statistiques de l’ Economérie”, p. 83, Dunod, Paris. Cuando s=0, se obtiene la varianza que se define como,

γ 0 = E( ut2 ) = σ 2
2

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 σ2  γ E (uu ' ) =  1  ... γ  n −1

γ1 σ ... γ n −2
2

... γ n...