Econometría mco

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Ayudant´ 1 ıa

Econometria 1

ENSTA 300/04 Econometria 1 Oto˜o 2010 n Profesor: Loreto Reyes, e-mail: loreyes@uchile.cl Ayudante: Jos´Ignacio Heresi, e-mail: jheresig@gmail.com e

1.

Matem´tico 1 a
n

Sabemos que debemos encontrar el argumento que minimiza la suma de loserrores al cuadrado: u2 i
i=1

Esto es:
n

Argmin(β)SSR =
i=1

(yi − α − βxi )2

Buscamos las condiciones de primer orden: ∂SSR = −2( ∂α∂SSR = −2( ∂β
n

yi − α − βxi ) = 0
i=1 n

yi − α − βxi )xi = 0
i=1

De la primera condici´n despejamos α: o α = y − βx ¯ ¯ Lo quereemplazamos en la segunda ecuaci´n: o
n

xi (yi − (¯ − β x) − βxi ) = 0 y ¯
i=1 n n

xi (yi − y ) = β ¯
i=1 n i=1

xi (xi − x) ¯
n

(xi −x)(yi − y ) = β ¯ ¯
i=1 i=1 n ¯ i=1 (xi − x)(yi − n ¯2 i=1 (xi − x)

(xi − x)2 ¯ = cov(x, y) var(x)

ˆ β=

y) ¯

Para resolver elejercicio num´rico, calculamos: e

1

Ayudant´ 1 ıa

Econometria 1

y=3 ¯ x=2 ¯ Queda: (−2 ∗ 5) + (0 ∗ −4) + (5 ∗ 0) + (2 ∗ 3) + (6 ∗ −2) + (−7∗ 1) + (5 ∗ −3) (5 ∗ 5) + (−4 ∗ −4) + (0 ∗ 0) + (3 ∗ 3) + (−2 ∗ −2∗) + (1 ∗ 1) + (−3 ∗ −3) ˆ −38 β= 64

ˆ β=

2.

Matem´tico 2 a

Debemoshacer lo mismo que en el ejercicio anterior pero con notaci´n matricial. Tenemos: o Argmin(β)SSR = (Y − Xβ) (Y − Xβ) Esto es equivalente a decir:SSR = Y Y − 2Y Xβ + β X Xβ Condici´n de primer orden: o ∂SSR = −2X Y + 2X Xβ = 0 ∂β Por lo que obtenemos: ˆ β = (X X)−1 X Y

2

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