Econometría

INTRODUCCIÓN A LA ECONOMETRÍA

MODELO UNIECUACIONAL CLÁSICO

Estructura del Tema 2.1. Introducción 2.2. Estimadores mínimo-cuadráticos ordinarios (MCO) 2.3. Propiedades. Teorema de Gauss-Markov 2.4. Estimador de la varianza de las perturbaciones aleatorias 2.5. Bondad del ajuste 2.6. Predicción con el modelo clásico 2.7. Modelo con variables transformadas

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1. INTRODUCCIÓN

En estecapítulo vamos a abordar el análisis del denominado Modelo de Regresión Lineal Clásico (MRLC). Este modelo nos permitirá, entre otras cosas, cuantificar las relaciones económicas de tipo lineal entre determinadas variables, como por ejemplo, el ahorro y la inversión, la demanda y el precio, la renta y el consumo, etc. Se trata de un modelo econométrico y uniecuacional que verifica determinadashipótesis que facilitan su estimación mediante técnicas sencillas. No obstante, estas hipótesis, bastante restrictivas “a priori”, se relajarán en los próximos capítulos. En esta sección pretenderemos plantear una estrategia para poder estimar el modelo, para lo cual será necesario especificar el modelo así como formular las principales hipótesis que, de cara a poder estimar convenientemente el modelo,tendrán que ser necesariamente formuladas

1. INTRODUCCIÓN

Formulación del modelo y técnica de estimación utilizada
Objetivo de la regresión
Variable dependiente, endógena o explicada

Estimar la relación funcional g entre dos variables X e Y

Y = g (X)
Variable independiente, exógena o explicativa

MODELO LINEAL SIMPLE

Modelo Determinista

Modelo Estocástico

Y = $0 + $1 XY = $0 + $1 X + g
Término de error o perturbación aleatoria

Variables no incluidas Forma funcional incorrecta Comportamiento aleatorio de los individuos Errores de medida

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1. INTRODUCCIÓN

Especificación del modelo
Especificación del Modelo Lineal Simple Información Muestral

Y = $0 + $1 X + g

X

Y y1 y2 ... yn

yi = $0 + $1 xi + gi

x1 x2 ...

Estimación del ModeloPoblacional

xn

ˆ ˆ y i = β0 + β1 x i + ei

yi ˆ

1. INTRODUCCIÓN

Elementos que intervienen en el modelo
Es una variable aleatoria cuyos valores dependen del muestreo Es una variable no aleatoria cuyos valores no dependen del muestreo

Variable endógena

Variable exógena

Y = $0 + $1 X + g
Parámetros
Son desconocidos pero se suponen constantes en toda la muestra

PerturbaciónEs una variable aleatoria no observable i.i.d. con media nula y varianza constante

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1. INTRODUCCIÓN

Representación gráfica del modelo yi
f(Y/X3) f(Y/X2) f(Y/X1)

f(yi)

Recibe el nombre de recta de regresión poblacional

. . .
X2 X3 ……….

E(Y/xi)=β0+β1Xi

X1

xi

2. ESTIMADORES MÍNIMO CUADRÁTICO ORDINARIOS (MCO)
y1 y3 y2 y4 x1 x2 x3 x4 X Y
ei

ˆ ˆ ˆ y i = β0 + β1xi

El objetivo que nos planteamos será la búsqueda de aquellos estimadores que minimicen la suma de los cuadrados de los errores (SCE)

SCE =

ˆ ∑ e =∑ (y − β
n 2 i n i i=1 i=1

0

ˆ − β1x i

)

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Estas son las soluciones al problema de optimización consistente en la minimiz. de SCE

ˆ ˆ β0 = y − β1x

∂ SCE =0 ˆ ∂ β0

ˆ ˆ - 2∑(Yi - β0 - β1Xi ) = 0
i=1

n

ˆ β1 =

Sxy S2 x

n ∂ SCE ˆ ˆ = 0 - 2∑ Xi (Yi - β0 - β1Xi ) = 0 ˆ ∂ β1 i=1

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2. ESTIMADORES MÍNIMO CUADRÁTICO ORDINARIOS (MCO)
∂ SCE =0 ˆ ∂ β0 ∂ SCE =0 ˆ ∂ β1

ˆ ˆ - 2∑(Yi - β0 - β1Xi ) = 0
i=1
n

n

ˆ ˆ ∑ y i = nβ 0 + β1 ∑ x i
i= 1 i= 1
n n

n

n

ˆ ˆ - 2∑ Xi (Yi - β 0 - β1Xi ) = 0
i=1

∑ yi
i=1

ˆ ˆ ∑ x i y i - β 0 ∑ x i - β1∑ x i2 = 0
i=1 i=1 i=1

n

n

n

n

ˆˆ = β 0 + β1 i=1 n

∑ xi

ˆ ˆ y = β 0 + β 1x

ˆ ˆ ∑ x i y i = ( y - β1x)∑ x i + β1∑ x i2
i=1 i=1 i=1
n n n n

n

n

n

ˆ ˆ β0 = y − β1x
S xy ˆ β1 = 2 Sx

ˆ ∑ x i y i - y∑ x i = β1(∑ x i2 - x∑ x i )
i=1 i=1 i=1 i=1

2. ESTIMADORES MÍNIMO CUADRÁTICO ORDINARIOS (MCO) Enfoque matricial
Modelo de Regresión Lineal Múltiple

y t = β0 + β1x1t + ... + βk x kt + ε t

; t =...