Economia

Teoria d e la producción
Insu mos de producción capital(K), trabajo(L) - El costo d e Capital “r” - El costo

El costo p o r p r o d ucir es C(r,w) = rK + wL La tecnologia t rasfor m a los ins u m o s en niveles de p r o d ucción Sea q el nivel del p r o d ucto q = F(K,L) El o bjetivo d e la e m p resa es m axi mizar el be neficio П = Pq - C(q) Π = pF(K,L) – rK – wL F(K,L) = KK LB Cobb –Douglas F(K,L) = Min {K,L} leontief e(Px, Py, ū) = Pxh x(.) + Pyh y(.) Lema d e Shepare ∂e . =hx . ∂ Px ∂e . =hx . ∂ Py
1 ∂e  Px 1, Py , u 1 P 2 u Py 2 u Py 2 = 2 = u=  u 1 1 Px 2 Px Px 2 Px 2 1 1

Del eje m plo an terior e (Px, Py, ū) = 2(Px, Py)1 / 2 ū Supo nga mo s q ue la Fn.e es d oble me nte diferenciable Sea Py = 1 ^ ū = ½ Sea Py = 1 ^ ū = ½ e(Px, Py, ū) = Px1 / 2

La fn. Degasto es concava .: la 2 d a d e rivada es Negativa Matriz d e segu n da s deriva das de la fn de gas to

∂e =hx Px

∂e =hy Py



∂ hx . ∂ Px ∂ hy . ∂ Px

∂ hx . Py ∂ hy . ∂ Py





∂ e ∂e , =hx . , hy . Px Px

Si e(Px, Py, ū) = 2(PxPy)1 / 2 ū
∂e 2 1 P y 2 =hx .=2P y = u ∂P x 12 12 Px Px
1 1

1

∂h x .  1 Py 2 =− u ∂P x 2 P x 3

1

∂e Px 2 =hy.= 1 u ∂hx . Py 2
1

∂hy  . 1 Px 2 =− u Py 2   Py3

e=P x

1 2

∂h x 1 1 1 1 = 1 1u= u 1 ∂P y 2 2 2 2 P x P y 2 2 P xP y  ∂hy  . = ∂ Px 1
1

e=P x

1 2

2 PxPy2
1



1 Py 2 − u 2   Px 3 1 2  PxPy
1 2

1 2 PxPy −
1 2 1 2

u

1 Px u 2  Py 3



2 d a d eriva da . ∂ Px 0 ∂hy  . 0 ∂ Py Estos res ulta dos m a te m a ticos s u s te n ta n la lógicaeono mica de las p r o pieda des d e la d e m a n d a Hicksiana λ(Px, Py, e) = hx(Px, Py, ū) hx(Px, Py, ū) = x(Px, Py, e(Px, Py, ū)) Slutsky: Dar u na cantida d de ingreso p a ra regresar al cons u mi dor a s u nivel de con s u m o original. Hiccks:Dar u na cantida d de dinero necesaria p a ra alcan z ar el nivel de u tilida d original. ∂ hx ∂ x . ∂ x ∂ e =  ∂ Px ∂ Px ∂ e ∂ x ∂ hx ∂ x . ∂ x=  hx  . ∂ Px ∂ Px ∂ e ∂hx . ∂ x . ∂ x =  hx . ∂ Px ∂ Px ∂m
∂ x x ∂x x ∂h x .  =− h x .  ∂P x ∂m ∂ P x

∂ hx

Si el p r ecio de X ca m bia

E. T E.I E.S Nor mal + Inferior E.T. Inferior = ( - ) n o r m al = - ES>EI +EI >ES Ejem plo:
1

-

hx(Px, Py, ū) =

Py 2
1

ū

Px 2

Xx(Px, Py, ū) = 2Px
∂x x. 1 −m E T = =− m P x −2= 2 ∂P x 2 2P x

m

−1

−∂ x x x−1 m2 −m −Py 2 EI = X .= = 2 = 3 ∂m 2Px 2Px 4P x 2Px 2 ∂ hx . −1 Px = ū 3 ∂ Px 2 Px 2
1 2

ū

E.S =

ET = EI + ES
1

−m −m Py 2 = u− u 2 2 3 2Px 4Px 2 2Px
∂ X x . −xdx x ∂ hx . =  ∂ Px ∂m ∂ Px

m

u = u =
x

1

2 PxPy2
1

1

Max=x 2 y 2 =u  x , y 
x =
x

m 2Px

m y = 2Py
x

u x  x x , y x =

m 1 m 1 2   2 = 2Px 2Py

m 2  PxPy

1 2

1−m Py 2 m − [ ] 2 3 1 4Px 2 2 2Px 2 PxPy
−m m −2m −m − = 2 = 2 2 2 4Px 4Px 4P x 2P x

Pro d ucción • Rto. Crecientes a escalar • “ d ecrecientes “ • “ .Ctes “ La e m p resa co m petitiva  Max Π = p q – p c(q) q = F(K, L) c(q) = rK + wL   p

Beneficio en u n nivel fijo si n o considera m os L п = pq – r k p q = п + rk q = п/p + r /p

(r / p) = pe niente p o sitiva

La co n dició nde Opti mización es

F k=
F k=

∂ F  k , L ∂q r = f ´ k = = ∂k ∂k p
Fk r r w F L= RTS = = p p FL w

Max п = p q – c(q) s.a q = f(k, L) Max x п = pF(k, L) – rk – wL
∂ =0 ∂k ∂ =0 ∂L

CPO

∂ F k , L ∂ =P −r =0 ∂k ∂k
 k , L ∂ =P ∂ F −w=0 ∂L ∂L F k= ∂ F  k , L r = ∂k p

F L=

∂ F k , L w = ∂L p

Max п = p q – c(q) s.a k 1 / 2 L = F(k, L) = q п = p k 1 / 2 L1 / 4 –rk – wL F(λ k, λL) = (λk)1 / 2 (λL)1 / 4 = λ1 / 2 λ1 / 4 λ ¿1/2 λ 1 / 4 = λ 3 / 4 F(k, L)
∂ 1 p 4 = L =0 k  ∂k 2 1 2 k 1 ∂ 1 p 2 = K −w=0 L ∂L 4 3 L4
1

1 p k 2 L 4 −rk =0 2 1 1 1 PL 4 K 2 −wL=0 4
1 Pq pq pq−wL=0≫wL= ≫ L= 2 4 4w
3

1

1

pq 1 pq 1 q=k L =  2   4= 2r 4w

1 2

1 4

pq 4
1

2 r 2 w 4

1

q 4  =
q= P3 16r 2 w

4

1  p3  1 4 4 ...