Economía

FUNCIONES REALES DE VARIAS VARIABLES

Presentado por:

Lic. SANDRA SALAZAR PALOMINO
Lic. WILBERT COLQUE CANDIA

APURÍMAC – PERU
2009

FUNCIONES REALES DE VARIAS VARIABLES
Definición:
Una función real de n variables independientes denotado por f : D ⊂ R 2 → B ⊂ R es una
regla de correspondencia de un conjunto “D” de vectores del espacio n dimensional a un
conjunto “B” de númerosreales talque:
f : D ⊂ R2 → B ⊂ R

x → f ( x ) = z ; x = ( x1 ; x 2 ;.........; x n )

⇒ f ( x1 ; x 2 ;......; x n ) = z
A las variables x1 ; x 2 ;.........; x n se les llama variables independientes y a z se le llama
variable dependiente.
Dominio de una función de varias variables:

{

()

}

Se llama dominio de definición o dominio de existencia de la función f al conjunto:

D f =x = ( x1 ; x 2 ;.......; x n ) ∈ R n / z = f x = f ( x1 ; x 2 ;.......; x n )

Los casos más importantes para su estudio son las funciones reales de dos y tres
variables, por lo tanto presentaremos los siguientes casos.
1º Caso: Si f : R 2 → R es una función real de dos variables independientes.
f : R2 → R
( x, y ) → f ( x, y ) = z

Gráficamente:

2º Caso: Si E : R 3 → R es una funciónde tres variables independientes.
S recibe la denominación de superficie, cuya ecuación es E ( x, y, z ) = 0 , el cual define
una o más funciones de la forma z = f ( x, y )
Es decir: E ( x, y, z ) = 0 define implícitamente a la función z = f ( x, y )

( x1 , y1 )

EJEMPLOS:
1. Describe y grafica el dominio de las siguientes funciones;
a) z = 1 - x 2 − y 2
b) z = x 2 − 4 + 4 − y 2SOLUCIÓN:
a) z = f (x, y ) = 1 − x 2 − y 2 existe ⇔ 1 − x 2 − y 2 ≥ 0
− x 2 − y 2 ≥ −1 ⇒ x 2 + y 2 ≤ 1
D f = { x, y ) ∈ R 2 / x 2 + y 2 ≤ 1}
(
Gráficamente:

b) z = f ( x, y ) =

x2 − 4 + 4 − y2

x 2 − 4 ; h( x, y ) = 4 − y 2
⇒ f (x, y ) = g ( x, y ) + h( x, y )

sea g ( x, y ) =

g ( x, y ) = x 2 − 4 existe ⇔ x 2 − 4 ≥ 0 ⇒ x ≥ 2 ∧ x ≤ −2
⇒ D g = {( x, y ) ∈ R 2 / x ≤ −2 ∧ x ≥ 2}

h(x, y ) = 4 − y 2 existe ⇔ 4 − y 2 ≥ 0 ⇒ −2 ≤ y ≤ 2

{

}

⇒ Dh = ( x, y ) ∈ R 2 / − 2 ≤ y ≤ 2

{

}

D f = D g I Dh = ( x , y ) ∈ R 2 / x ≥ 2 ∧ y ≤ 2

Gráficamente:

(

2. Hallar el dominio de z = ln 36 − 4 x 2 − 9 y 2
SOLUCIÓN:

(

z = f ( x, y ) = ln 36 − 4 x 2 − 9 y 2

)

)

existe ⇔ 36 − 4 x 2 − 9 y 2 > 0

x2 y2
+
0 , entonces − x ≤ y − 1 ≤ x ⇒ − x + 1 ≤ y ≤x + 1

{

}

D f = ( x, y ) ∈ R 2 / − x + 1 ≤ y ≤ x + 1

Gráficamente:

b) Si x < 0 , entonces − x ≥ y − 1 ≥ x ⇒ − x + 1 ≥ y ≥ x + 1
D f = { x, y ) ∈ R 2 / x + 1 ≤ y ≤ 1 − x}
(
Gráficamente:

4.
LÍMITE Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
1. Límite:
Sea f : S ⊂ R 2 → R una función de dos variables independientes definida en el
conjunto S y sea a = (a, b) un punto deacumulación de S entonces:
lim

( x , y )→ ( a ,b )

f ( x, y ) = L ⇔ ∀ε > 0; ∃δ > 0 / f ( x, y ) − L < ε siempre que

0 < ( x , y ) − (a , b ) < δ

O equivalentemente a:
lim f ( x, y ) = L ⇔ ∀ε > 0; ∃δ > 0 / f ( x, y ) − L < ε siempre que
x→a
y →b

0 < x−a 0; ∃δ ≥ 0 / (3x + 2 y ) − 12 < ε siempre que 0 < x − 2 < δ ∧ 0 < y − 3 < δ

De: 3 x + 2 y − 12 = (3 x − 6 ) + (2 y − 6) = 3(x − 2) + 2( y − 3)
Y como: A + B = A + B

3 x + 2 y − 12 = 3( x − 2 ) + 2( y − 3) ≤ 3 x − 2 + 2 y − 3 ≤ 3 x − 2 + 2 y − 3

< 3δ + 2δ = 5δ < ε ⇒ δ =
ε
; entonces
5

Si δ =
b)

lim

(x

( x, y )→(1,1)

2

lim

( x , y )→ ( 2 , 3 )

ε
5

(3x + 2 y ) = 12

)

+ y2 = 2

∀ε > 0; ∃δ ≥ 0 / f ( x, y ) − L < ε siempre que 0 < x − a < δ ∧ 0 < y − b < δ

(

)

∀ε > 0;∃δ ≥ 0 / x 2 + y 2 − 2 < ε siempre que
0 < x −1 < δ ∧ 0 < y −1 < δ

(

) (

)

De: x 2 + y 2 − 2 = x 2 − 1 + y 2 − 1

= ( x − 1)( x + 1) + ( y + 1)( y − 1)
≤ x +1 x −1 + y +1 y −1

Debemos acotar superiormente los factores x + 1 y y + 1 , elegimos entonces δ 1 = 1

x − 1 < 1 ⇒ −1 < x − 1 < 1 ⇒ 0 < x < 2 ⇒ 1 < x + 1 < 3 ⇒ x + 1 < 3
y − 1 < 1 ⇒ −1 < y − 1 < 1 ⇒ 0 < y < 2 ⇒ 1 < y +...