Ecua Diferencial Separables

Ecuaciones Diferenciales (MA-841)
Ecuaciones de Variables Separables
Departmento de Matemáticas / CSI

ITESM

Ecuaciones de Variables Separables

Ecuaciones Diferenciales - p. 1/16

Ecuaciones de Variables Separables
Iniciaremos nuestras técnicas de solución a ED
con las ecuaciones más sencillas de resolver. Este
tipo de ecuaciones son resueltas directamente
mediante una o dos integraciones.Ecuaciones de Variables Separables

´
Introduccion
Variables
Separables
Estrategia de
´
Solucion
Ejemplo 1
PVI
Ejemplo 2
Ejemplo 3
Ejemplo 4

Ecuaciones Diferenciales - p. 2/16

´
Definicion

Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden
de la forma:
y = F (x, y)
se dice de Variables Separables si es posible
factorizar F (x, y) en la forma:

´
Introduccion
Variables
Separables
Estrategia de
´Solucion
Ejemplo 1
PVI
Ejemplo 2
Ejemplo 3
Ejemplo 4

F (x, y) = f (x) · g(y)

Ecuaciones de Variables Separables

Ecuaciones Diferenciales - p. 3/16

Una EDO de variables separables puede
resolverse usando la siguiente estrategia:
- Procedimiento: Variables Separables
- Entrada: Una EDO en la forma y = F (x, y)
- Salida: La solución de la ED.
Paso I: Factorizar el segundo miembro
Factorizar F(x, y) = f (x) · g(y),
si tal factorización no es posible, se concluye que
la ED no es de variables separables y el
procedimiento no continua.

Ecuaciones de Variables Separables

´
Introduccion
Variables
Separables
Estrategia de
´
Solucion
Ejemplo 1
PVI
Ejemplo 2
Ejemplo 3
Ejemplo 4

Ecuaciones Diferenciales - p. 4/16

Paso II: Separar las variables
Hacer álgebra para poner variables diferentesen
lados diferentes:
y
dy
dx
1 dy
g(y) dx

= F (x, y)
= f (x) · g(y)
=
= f (x)

Ecuaciones de Variables Separables

´
Introduccion
Variables
Separables
Estrategia de
´
Solucion
Ejemplo 1
PVI
Ejemplo 2
Ejemplo 3
Ejemplo 4

Ecuaciones Diferenciales - p. 5/16

Paso III: Integrar
Integrando la expresión anterior con respecto a x
obtenemos:
1 dy
dx = f (x) dx
g(y) dx
o simplemente:
1
dy =
g(y)Ecuaciones de Variables Separables

´
Introduccion
Variables
Separables
Estrategia de
´
Solucion
Ejemplo 1
PVI
Ejemplo 2
Ejemplo 3
Ejemplo 4

f (x) dx + C

Ecuaciones Diferenciales - p. 6/16

Paso IV: Despejar y Opcional
Debido a que y representa la función incógnita a
determinar, lo ideal es determinarla por
completo, es decir tener como solución una
expresión de la forma:
y = Expresión en x

´Introduccion
Variables
Separables
Estrategia de
´
Solucion
Ejemplo 1
PVI
Ejemplo 2
Ejemplo 3
Ejemplo 4

En caso que este despeje sea posible, se dice
que la solcuón está dada en forma explícita, en
caso contrario (cuando no fué posible despejar
y) se dice que la solucón está dada en forma
implícita.

Ecuaciones de Variables Separables

Ecuaciones Diferenciales - p. 7/16

Ejemplo 1
Resuelve la ED:
2x
dy=−
dx
y

Ecuaciones de Variables Separables

´
Introduccion
Variables
Separables
Estrategia de
´
Solucion
Ejemplo 1
PVI
Ejemplo 2
Ejemplo 3
Ejemplo 4

Ecuaciones Diferenciales - p. 8/16

Ejemplo 1
Resuelve la ED:
2x
dy
=−
dx
y
Primero revisamos si la ED es de variables
separables:
2x
dy
=−
= (−2 x)
dx
y

Ecuaciones de Variables Separables

1
y

´
Introduccion
Variables
Separables
Estrategia de
´Solucion
Ejemplo 1
PVI
Ejemplo 2
Ejemplo 3
Ejemplo 4

= f (x) g(y)

Ecuaciones Diferenciales - p. 8/16

Ejemplo 1
Resuelve la ED:
2x
dy
=−
dx
y
Primero revisamos si la ED es de variables
separables:
2x
dy
=−
= (−2 x)
dx
y

1
y

´
Introduccion
Variables
Separables
Estrategia de
´
Solucion
Ejemplo 1
PVI
Ejemplo 2
Ejemplo 3
Ejemplo 4

= f (x) g(y)

Separando las variables:
y dy = −2 x dx

Ecuaciones deVariables Separables

Ecuaciones Diferenciales - p. 8/16

Ejemplo 1
Resuelve la ED:
2x
dy
=−
dx
y
Primero revisamos si la ED es de variables
separables:
2x
dy
=−
= (−2 x)
dx
y

1
y

´
Introduccion
Variables
Separables
Estrategia de
´
Solucion
Ejemplo 1
PVI
Ejemplo 2
Ejemplo 3
Ejemplo 4

= f (x) g(y)

Separando las variables:
y dy = −2 x dx
Integrando tenemos:
1 2
y = −x2 + C
2
Ecuaciones de...