Ecuacion de la elipse

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Ecuación de la elipse

Ecuación reducida de la elipse

Tomamos como centro de la elipse el centro de coordenadas y los ejes de la elipse como ejes de coordenadas. Las coordenadas de los focos son:

[pic]
F'(-c, 0) y F(c, 0)

Cualquier punto de la elipse cumple:[pic]

Esta expresión da lugar a:

[pic]

Realizando las operaciones llegamos a:

[pic]

Ejemplo

Hallar los elementos característicos y la ecuación reducida de la elipse de focos: F'(-3,0) y F(3, 0), y su eje mayor mide 10.

[pic]

Semieje mayor

[pic]Semidistancia focal

[pic]

Semieje menor

[pic]

Ecuación reducida

[pic]Excentricidad

[pic]

Ecuación reducida de eje vertical de la elipse

[pic]

Si el eje principal está en el de ordenadas se obtendrá la siguiente ecuación:

[pic]

Las coordenadas de losfocos son:

F'(0, -c) y F(o, c)

Ejemplo

Dada la ecuación reducida de la elipse [pic], hallar las coordenadas de los vértices de los focos y la excentricidad.

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

Ecuación de la elipse

Si el centro de la elipse C(x0,y0) y el eje principal es paralelo a OX, los focos tienen de coordenadasF(X0+c, y0) y F'(X0-c, y0). Y la ecuación de la elipse será:

[pic]
[pic]

Al quitar denominadores y desarrollar se obtiene, en general, una ecuación de la forma:

[pic]

Donde A y B tienen el mismo signo.

Ejemplos

Hallar la ecuación de la elipse de foco F(7, 2), de vértice A(9, 2) y de centro C(4, 2).

[pic]

[pic]

[pic]Dada la elipse de ecuación [pic], hallar su centro, semiejes, vértices y focos.

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

Ecuación de eje vertical de la elipse

Si el centro de la elipse C(x0,y0) y el eje principal es paralelo a OY, los focos tienen de coordenadas F(X0, y+c) y F'(X0, y0-c). Y la ecuación de la elipse será:

[pic][pic]

Ejercicios

Representa gráficamente y determina las coordenadas de los focos, de los vértices y la excentricidad de las siguientes elipses.

1 [pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

2 [pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

3 [pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic][pic]

4 [pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

Halla la ecuación de la elipse conociendo:

1 [pic]

[pic]

[pic]

2 [pic]

[pic]

[pic]

3 [pic]

[pic]

[pic]

4 [pic]

[pic]

[pic]

Escribe la ecuación reducida de la elipse que pasa por el punto (2, 1) y cuyo eje menor mide 4.

[pic]

[pic]

[pic]

La distancia focal de unaelipse es 4. Un punto de la elipse dista de sus focos 2 y 6, respectivamente. Calcular la ecuación reducida de dicha elipse.

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

Determina la ecuación reducida de un elipse cuya distancia focal es [pic]y el área del rectángulo construidos sobre los ejes 80 u2.

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

Determina la ecuación reducida de una elipse sabiendo que...
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