Ecuacion de la elipse

ECUACION DE LA ELIPSE

1.- Aislar en un miembro una de las raíces.
___________ ___________
√ (x + c)2 + y2 = 2a - √ (x - c)2 + y2

2.- Elevar al cuadrado los dos miembrosde la ecuación.
_____________ ____________
[√ (x + c)2 + y2]2 = [2a - √ (x - c)2 + y2]2

3.- Desarrollar y reducir términos semejantes.
___________
(x + c)2 + y2 = 4a2 -4a√ (x - c)2 + y2 + (x - c)2 + y2
___________
x2 + c2 + 2cx+ y2 = 4a2 - 4a√ (x - c)2 + y2 + x2 + c2 - 2cx+ y2
___________
2cx = 4a2 - 4a√ (x - c)2 + y2 - 2cx

4.- Separar en un miembrola parte racional y en otro la irracional resultante del doble producto.
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4a√ (x - c)2 + y2 = 4a2 - 4cx sacando factor común
___________
4a√ (x - c)2 + y2 = 4(a2 - cx)Simplificando
___________
a√ (x - c)2 + y2 = (a2 - cx)

5.- Elevar de nuevo los dos miembros al cuadrado
___________
[a√ (x - c)2 + y2]2 = (a2 - cx)2



6.- Desarrollar yreducir términos semejantes y simplificar

a2 [(x - c)2 + y2]2 = (a4 - 2a2cx + c2x2)
.
a2 [x2 - 2cx + c2 + y2] = (a4 - 2a2cx + c2x2)

a2x2 - 2a2cx + a2c2 + a2y2 = a4 - 2a2cx + c2x2Eliminando términos semejantes

a2x2 + a2c2 + a2y2 = a4 + c2x2 trasponiendo términos

a2x2 - c2x2 + a2y2 = a4 - a2c2 sacando factor común

x2(a2 - c2) + a2y2 = a2(a2 - c2)7.- Obtener la ecuación deseada.

En la ecuación anterior (a2 - c2) = b2 (Luego se demostrará) sustituyendo resultará

x2b2 + a2y2 = a2b2 dividiendo los dos miembros por a2b2resultará:

x2b2 a2y2 a2b2
----- + ----- = ------ Simplificando se obtiene la fórmula
a2b2 a2b2 a2b2x2 y2
---- + ----- = 1
a2 b2