Ecuacion De La Onda

1 Objetivo
Nuestro objetivo es hallar la ecuación diferencial que deben verificar las soluciones para las ondas en una dimensión. Debe cumplir los siguientes requisitos:
2 Ondas hacia la derechaDebe admitir como soluciones las de la forma

que representan señales que se propagan hacia la derecha sin deformarse.
3 Ondas hacia la izquierda

Una cuerda, u otro sistema vibrante,normalmente es simétrica respecto al sentido de propagación de las ondas. No hay diferencia entre agitar el extremo de la izquierda y producir una onda que se mueve hacia la derecha, que agitar el de la derechay que la onda resultante se mueva hacia la izquierda.
Por tanto, la ecuación diferencial buscada debe admitir también soluciones de la forma

con g una función arbitraria.
4 Superposición

Laecuación resultante debe admitir además que sobre la misma cuerda vibrante se propaguen simultáneamente dos o más señales, sin afectarse mutuamente. Por ello la solución general debe ser de la forma5 Derivando una vez
La solución general es una función de dos variables, x y t, siendo la velocidad de las ondas una constante. Necesitamos una ecuación que ligue las derivadas parciales respecto ala posición y respecto al tiempo.
5.1 Derivando respecto al espacio y al tiempo
Comenzamos con las soluciones de la forma y = f(x − vt), donde f es una función arbitraria de una sola variable, estoes que podemos escribir estas soluciones en la forma

esto es, y depende de x y t no de cualquier forma, sino a través de la combinación definida por s. Si ahora derivamos respecto a la posición x,aplicando la regla de la cadena

ya que
    
Si derivamos respecto al tiempo, nos resulta

donde la derivada de s respecto al tiempo vale

Eliminando f'(s) entre las dos derivadas obtenemos larelación

Esta ecuación en derivadas parciales la verifican todas las soluciones de la forma y = f(x − vt). Sin embargo, como veremos, eso no es suficiente para nuestros objetivos.
5.2 El...