Ecuacion del calor



Proyecto Final
“Migración de Leucocitos sobre la superficie de prótesis vasculares”










Integrantes: María Ignacia Canales
Claudia Araya
Daniel Ramírez
César NaranjoEsteban Cortés
Profesor: Wilmer Bazan
Asignatura: Matemáticas 4

Índice

Definición del problema: 2
Introducción a las Ecuaciones Diferenciales Parciales y a la Ecuación del Calor: 5
Deducción de la ecuación de calor unidimensional 5
Función de leucocitos en las Prótesis Vasculares: 8
Resolución del Problema: 9
Conclusión y comentarios: 12Definición del problema:

Más de cincuenta millones de personas en todo el mundo tienen implantado algún tipo de prótesis y es un hecho bien conocido en nuestra sociedad, la utilidad y necesidad de todo tipo de implantes, siendo raro que en nuestro entorno próximo no conozcamos algún caso de familiar o amigo que los necesite.
La prótesis con que se trabajará eneste proyecto en particular se denomina prótesis vascular, que se emplean para la reconstrucción de vasos sanguíneos dañados u obstruidos. Estas prótesis están hechas de biomateriales sintéticos los cuales pueden desencadenar una infección bacterial sobre ésta, es por eso que analizar el movimiento de los leucocitos es un factor crítico para minimizar la probabilidad de una infección, como veremosmás adelante.
Rosenson-Schoss (2002) describieron la movilidad de estos leucocitos sobre la superficie de una prótesis, usando un sistema físico de difusión-convección cuya modelización matemática esta dada en la siguiente ecuación diferencial:

 (1)
Donde:
C=C(x,t) representa la concentración de leucocitos en la sangre desde el centro del vaso hacia la superficie de la prótesisx: dirección normal o perpendicular hacia la superficie de la prótesis [cm].
T: tiempo [s].
La ecuación (1) es obtenida tras un balance de masa, μD representa el coeficiente aleatorio de migración y veff es una constante asociada a la velocidad migratoria direccional de las células, la cual es cero debido a las condiciones del medio (isotrópicas).
Reescribiendo la ecuación (1) con lo dichoanteriormente queda:

 (2)
En t > 0 y 0 < x < L
Esta ecuación corresponde a la Segunda ley de Fick de difusión.
En la Figura 1 se muestra como se desplazan los Leucocitos hacia la superficie de la prótesis desde el centro del vaso sanguíneo.









Figura 1: Indica la dirección de difusión de Leucocitos.
Finalmente para logar modelar este fenómeno físicoes necesario establecer condiciones de frontera y condiciones iniciales adecuadas.
Notar que la ecuación a trabajar presenta la misma forma que la ecuación del calor, por lo que se utilizarán los mismos métodos de desarrollo de ésta.


















Introducción a las Ecuaciones Diferenciales Parciales y a la Ecuación del Calor:

Las ecuaciones diferenciales parciales(E.D.P.) son relaciones matemáticas que de forma recurrente aparecen en múltiples problemas de la ciencia, por lo que el afán de conocer los métodos para solucionarlas las convierten en una de las áreas más estudiadas de las matemáticas. Éstas consisten en la relación entre una variable u dependiente de variables x1, x2,…,xn, independientes entre sí, y sus derivadas parciales respecto a éstas. Áreas endonde se presentan con frecuencia son la termodinámica, elasticidad, mecánica cuántica, mecánica de fluidos, electromagnetismo, etc.

De particular interés son las E.D.P. de segundo orden (con derivadas dobles y mixtas), de las cuales hay tres tipos, parabólica, hiperbólica y elíptica; las cuales normalmente se pueden clasificar en cuatro casos, los cuales modelan una gran cantidad de...