Ecuacion diferencial

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2d
Ecuación en diferencias de segundo orden no homogénea
Para resolver la ecuación no homogénea de segundo orden, representada por la expresión (a2E2 + a1E + a0) y(n) = F[n] , debemos sumar unasolución particular de esta ecuación, a la solución obtenida de resolver (a2E2 + a1E + a0) y(n) = 0.
 
Para hallar la solución particular necesaria, empleamos el método de los coeficientesindeterminados, comenzando con una combinación lineal arbitraria de todos los términos independientes que se obtienen a partir de F[n] por aplicación repetida del operador E.
 
Como en el caso de las ecuacionesdiferenciales, si cualquier término de la expresión elegida inicialmente para Yp   es repetición de algún término de la solución complementaria ( solución de la ecuación en diferencias homogénea),éste y todos los términos asociados deben multiplicarse por la menor potencia entera positiva de n, hasta eliminar toda duplicación.
 
El proceso a seguir es análogo al empleado para resolverecuaciones diferenciales de orden superior.
 
El procedimiento a seguir se resume en la siguiente tabla.
Ecuación en diferencias (a2E2 + a1E + a0) y(n) = F[n]
 
 
[pic]
Cuando F[n]  está formada por lasuma de varios términos, la selección apropiada para  Yp es la suma de las expresiones Yp correspondientes a cada uno de los términos por separado.
 
 
Ejemplo 10.
Hállese una solución completa dela ecuación en diferencias:
(E2 - 5E + 6) = n+2n.
Solución.
En este caso la ecuación característica es   [pic]y a partir  de sus raíces [pic],  se halla la solución complementaria que es  yc =c12n  + c2 3n
Para hallar una solución particular, se ensayaría normalmente con la expresión   
yp = An + B + C2n   según la tabla anterior.
Como ocurre que el término  C2n  es repetición de untérmino de la solución complementaria, debemos multiplicar C2n   por n antes de incorporarlo a la expresión que hemos elegido para  yp.
Por lo tanto,  yp  tiene la forma siguiente:  yp = An + B + Cn2n  ...
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