Ecuacion vectorial del plano

Ecuación vectorial del plano
Para determinar un plano del espacio se necesita conocer un punto P y un par de vectores que formen una base, es decir, que sean linealmente independientes.

Para que elpunto P pertenezca al plano π el vector  tiene que ser coplanario con  y , es decir, que dependa linealmente de  y .






Ecuaciones paramétricas del plano
Si operamos en la ecuación vectorial delplano llegamos a la igualdad:

Para que se verifique esta igualdad, se debe cumplir que:



Ecuación general o implícita del plano
Un punto está en el plano π si tiene solución el sistema:

Estesistema tiene que ser compatible determinado en las incógnitas λ y µ· Por tanto el determinante de la matriz ampliada del sistema con la columna de los términos independientes tiene que ser igual a cero.Desarrollando el determinante obtenemos:

Damos los valores:

Sustituimos:

Realizamos las operaciones y le damos a D el valor:

Obtenemos la ecuación general de plano:



Ecuación canónica osegmentaria del plano

Sean los puntos A(a, 0, 0), B(0, b, 0) y C(0, 0, c), la ecuación canónica viene dada por:




Ejercicios
1.Hallar las ecuaciones paramétricas e implícitas del plano que pasa por el puntoA(1, 1, 1) y tiene como vectores directores a  y .





2.Hallar las ecuaciones paramétricas e implícitas del plano que pasa por los puntos A(−1, 2, 3) y B(3, 1, 4) y contiene al vector .Ecuación general del plano
Cualquier plano se puede expresar como una ecuación del plano de la primera forma
A x + B y + C z + D = 0
donde A, B y C no pueden ser 0 al mismo tiempo.


Ecuación delplano en segmentos
Si el plano cruza los ejes OX, OY y OZ en los puntos con coordenadas (a, 0, 0), (0, b, 0) y (0, 0, с), entonces puede calcularse, utilizando la fórmula de ecuación del plano ensegmentos
x
 + 
y
 + 
z
 = 1
a

b

c



Ecuación del plano, que pasa por un punto, perpendicularmente al vector normal
Para formular ecuación del plano, sabiendo las coordenadas del punto del plano...