Ecuacione Diferenciales

Páginas: 2 (341 palabras) Publicado: 2 de febrero de 2013
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Ecuación de Riccati
La ecuación de Riccati es una ecuación diferencial ordinaria desarrollada en el siglo XVIII por el matemático italiano JacopoFrancesco Riccati, con el fin de analizar la hidrodinámica.
Corresponde a una ecuación de la forma:

Esta ecuación se resuelve si previamente se conoce una solución particular, digamos .
Conocidadicha solución, se hace el cambio:

y reemplazando, se obtiene:

es decir:

lo que equivale a:

que corresponde a una ecuación diferencial de Bernoulli.

Obsérvese que si se hace el cambio
,esto nos lleva directamente a una ecuación lineal diferencial de primer orden.

Las ecuaciones diferenciales de Bernoulli son ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden, formuladaspor Jakob Bernoulliy resueltas por su hermano Johann, que se caracterizan por tener la forma:

donde  y  son funciones continuas en un intervalo 
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Métodode resolución
[editar]Caso general
Si se descuentan los casos particulares en que α=0 y α=1 y se divide la ecuación por yα se obtiene:
(1)
Definiendo:

lleva inmediatamente a las relaciones:Gracias a esta última relación se puede reescribir (1) como:
(2)
Ecuación a la cual se puede aplicar el método de resolución de una ecuación diferencial lineal obteniendo como resultado:Donde  es una constante arbitraria. Pero como Z = y1-α se tiene que:

Finalmente, las funciones que satisfacen la ecuación diferencial pueden calcularse utilizando la expresión:
(3)
Con .
[editar]Casoparticular: α = 0
En este caso la ecuación se reduce a una ecuación diferencial lineal cuya solución viene dada por:
(4)
[editar]Caso particular: α = 1
En este caso la solución viene dada por:
(5)-------------------------------------------------
[editar]Ejemplo
Para resolver la ecuación:
(*)
Se hace el cambio de variable , que introducido en (*) da simplemente:
(**)
Multiplicando la...
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