Ecuaciones adimensionales

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ECUACIONES ADIMENSIONALES Y ORDENES DE MAGNITUD
Prof. C. Dopazo Área de Mecánica de Fluidos Centro Politécnico Superior Universidad de Zaragoza Septiembre 2005

Índice
1 PROBLEMA TERMICO 2 PROBLEMA MASICO 3 ORDENES DE MAGNITUD 4 NOTA 4 5 6 7

1

n So

Ui L g = - gk

Figura 1: gura En este capítulo se va a ilustrar la manera de usar las ecuaciones de transporte en forma adimensional,a través del análisis del problema dinámico. En particular, se va a estudiar el ujo alrededor de un obstáculo en reposo de longitud característica L, sobre el cual sopla un uido de densidad ρ y viscosidad µ constantes con velocidad U . Con estas hipótesis los problemas térmico y másico están desacoplados del problema dinámico. En coordenadas cartesianas con vectores unitarios i, j, k, lasecuaciones y condiciones de contorno que denen este último son:

∂υj =0 ∂xj ρ ∂υi ∂υi ∂p ∂ 2 υi + ρυj =− +µ − ρgk ∂t ∂xj ∂xi ∂xj ∂xj

(1) (2)

Para x → ∞ , υ → U i Sobre So , υ = 0 Las variables independientes, x y t, y las dependientes, υ y p, se pueden hacer adimensionales usando los valores característicos, τo , L, U y (∆p) se denen

t = τo t , xj = Lxj , υj = U υj , p = (∆p) p

(3)donde las variables con primas son adimensionales. τo estaría relacionado con el tiempo en que la velocidad U varía signicativamente (tiempo de arranque de un ventilador, período de desprendimiento de vórtices, etc.). (∆p) es la presión característica o variaciones de presión característica. Las ecuaciones anteriores expresadas en términos de las variables adimensionales son:

U L ρ U τo ∂υi ∂t+ ρ U2 L υj ∂υi ∂x j

∂υj ∂xj

= 0 = − ( p) L U L2 ∂p ∂xi (ρ g ) ik
Fuerzas gravitatorias

Aceleración temporal

Aceleración convectiva o Fuerzas de Inercia

Fuerzas de presión

+

µ

∂ 2 υi + ∂xj ∂xj

(4)

Fuerzas viscosas

Para x → ∞, υ → (1) i Sobre S0 , υ = 0 El problema se ha transformado de x a x , de forma que en x se resuelve un problema para un obstáculo dedimensión característica unidad sobre el que sopla un uido con velocidad de módulo unidad. Los factores entre paréntesis que premultiplican cada término en las ecuaciones, tienen dimensiones (idénticas para todos) y dan una idea de la magnitud de cada término. Se hace adimensional la ecuación dividiendo por uno de ellos; tradicionalmente se divide por ρ U L las fuerzas de inercia. Las ecuacionesadimensionales quedan, pues,
2

que da la magnitud de

∂υj =0 ∂xj L U τo ∂υi ∂υ + (1) υj i = − ∂t ∂xj p ρU 2
2

(5)

∂p + ∂xi

1
U2 gL

igi +

1 ρ UL µ

∂ 2 υi ∂xj ∂xj

(6)

x



n So n S’o

Ui
L

(1) i

1

Figura 2: gura En la ecuación anterior, los factores entre paréntesis que premultiplican cada término son adimensionales e indican la importancia relativa de cadatérmino comparado con las fuerzas de inercia. El número de Strouhal, St =
L U τo

, es una relación entre el tiempo de residencia L/U y el tiempo característico

1 de variación de U ; si se trata de un fenómeno de desprendimiento de vórtices τo ∼ ω donde ω es la frecuencia de desprendimiento. L/U da una idea del tiempo que una partícula uida permanece en contacto con el obstáculo.

Elnúmero de Euler, Eu =

p ρU 2

, expresa la relación entre las fuerzas de presión y las de inercia. Siempre que

las fuerzas de inercia sean relevantes en un problema, se hace siempre Eu = 1 y variaciones de presión característica son del orden de la presión dinámica.

p = ρU 2 , que indica que las

El número de Froude, Fr =

U2 gL

, es la relación entre las fuerzas de inercia y lasfuerzas gravitatorias. Suele ser
ρU L µ

importante cerca de supercies libre (e.g., estudios dehidrodinámica de barcos o cuerpos otantes).

El número de Reynolds, Re =

, expresa la relación entre las fuerzas de inercia y las fuerzas viscosas.

Para un coche de L ≈ 4 m que se mueve en el aire a 100 km/h (U = 27, 78 m/s)

F r = 20 , Re =

27, 78 m/s × 4 m = 7, 17 × 106 1, 55 × 10−5...
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