Ecuaciones cuadraticas

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Lección 4-3 ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

Objetivos: ü Definir ecuación de segundo grado. ü Resolver la ecuación de segundo grado aplicando propiedades de la igualdad. ü Resolver la ecuación de segundo grado aplicando factorizaciones. ü Resolver la ecuación de segundo grado completando el trinomio cuadrado perfecto. ü Resolver la ecuación de segundo grado aplicando la formula general. üIdentificar la naturaleza de las soluciones de la ecuación de segundo grado analizando el discriminante.

Una ecuación con una incógnita es de segundo grado o cuadrática, cuando después de reducirla a su más simple expresión, el más alto grado de la incógnita es 2.

La forma general de una ecuación de segundo grado es:

ax 2 + bx + c = 0

......

(1)

en la cual a, b y c son los coeficientesEjemplo: Los coeficientes de la ecuación:

20 x 2 − 61x + 8 = 0
son: a = 20 , b = -61 , c = 8

La ecuación es completa cuando a, b y c son distintos de cero, esto es la ecuación tiene el término cuadrado, el término lineal y el término independiente

Solución de ecuaciones de segundo grado en su forma incompleta: La ecuación es incompleta cuando b = 0 , c = 0 o ambos son cero. Laecuación incompleta tiene estas dos formas de presentación:

ax 2 + c = 0 ax 2 + bx = 0

..... ......

(2) (3)

La solución de ecuaciones de segundo cuya presentación es de la forma (2) es muy sencilla pues en ella solo se aplican trasposiciones simples, esto es:

ax 2 + c = 0 ax 2 = −c x2 = −c a −c a

x=±

Así la incógnita es igual a más o menos la raíz cuadrada del cociente del términoindependiente, entre el coeficiente de

x 2 , con el signo cambiado.

En la solución de la forma (3) solo hay que factorizar, de la siguiente forma:

ax 2 + bx = 0 x (ax + b) = 0
Este último producto se anula si se anula uno de los dos factores. Así para x = 0 tenemos una solución y para a x + b = 0 la otra

esto es:

x=0 x=− b a

La ecuación de segundo grado en que falta el términoindependiente tiene una raíz nula, y la otra es igual al coeficiente de x tomado con signo contrario, dividido entre el coeficiente de

x2

Resolución geométrica de la ecuación completa: Los algebristas antiguos resolvían las cuadráticas por procedimientos fundamentalmente geométricos, como el que consiste en completar un cuadrado, según se ilustra en el ejemplo siguiente:

Ejemplo: Resolverla ecuación:

x 2 + 6 x = 55

Trácese un cuadrado cualquiera de lado x cuya área es en los lados de

x 2 , colóquese, apoyados

x 2 , dos rectángulos de bases iguales a 3 unidades ( 3 = mitad

de 6, que es el coeficiente de el término lineal de la ecuación dada). Si a la figura resultante se le agrega el cuadrado de área total (ver figura anterior), cuya superficie es:

32 se completael cuadrado

(x

2

en azules

+ 6x +

) ( 3 ) = ( 55 )+ (
2 en violeta en azules

9

en violeta

)

esto es:

x 2 + 6 x + 9 = 55 + 9 ( x + 3) 2 = 64
Despejando x de esta última ecuación tenemos:

x + 3 = 64 x+3=8 x=5
Este procedimiento sólo proporciona la raíz positiva.

Para completar el cuadrado, se ha agregado a cada miembro el cuadrado de la mitad del coeficientedel término lineal

Resolución algebraica de la ecuación completa: Ejemplo: Resolver:

x 2 + 11x − 60 = 0
Pásese el término independiente al segundo miembro Agréguese el cuadrado de la mitad del coeficiente del término lineal a cada miembro para completar el trinomio cuadrado perfecto

x 2 + 11x = 60

 11   11  x + 11x +   = 60 +   2 2
2

2

2

Exprese el trinomiocuadrado perfecto como binomio al cuadrado

11  121 361  =  x +  = 60 + 2 4 4 

2

Extráigase la raíz cuadrada en los dos miembros de la ecuación

11   x +  = 2 

2

361 4

x+
Despeje x

11 361 =± 2 4 11 361 ± 2 4

x=−

eso es:

x=−
Las soluciones son:

11 19 ± 2 2

x1 = 4 x 2 = −15

Fórmula general: Resolver la ecuación literal:

ax 2 + bx + c = 0...
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