ecuaciones cuadraticas

Fórmula cuadrática[editar · editar código]

Para una ecuación cuadrática con coeficientes reales o complejos existen siempre dos soluciones, no necesariamente distintas, llamadas raíces, que pueden ser reales o complejas (si los coeficientes son reales y existen dos soluciones no reales, entonces deben ser complejas conjugadas). Se denomina fórmula cuadrática3 a la ecuación que proporciona lasraíces de la ecuación cuadrática:
x = \frac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac}}{2a}
donde el símbolo ± indica que los valores
x_1 = \frac{-b + \sqrt {b^2-4ac}}{2a} y \ x_2 = \frac{-b - \sqrt {b^2-4ac}}{2a}
constituyen las dos soluciones.
Discriminante[editar · editar código]


Ejemplo del signo del discriminante:
■ < 0: no posee soluciones reales;
■ = 0: posee una solución real (multiplicidad 2);
■> 0: posee dos soluciones reales distintas.
En la fórmula anterior, la expresión dentro de la raíz cuadrada recibe el nombre de discriminante de la ecuación cuadrática. Suele representarse con la letra D o bien con el símbolo Δ (delta):
\Delta = b^2 - 4ac.\,
Una ecuación cuadrática con coeficientes reales tiene o bien dos soluciones reales distintas o una sola solución real de multiplicidad 2,o bien dos raíces complejas. El discriminante determina la índole y la cantidad de raíces.
Dos soluciones reales y diferentes si el discriminante es positivo (la parábola cruza dos veces el eje de las abscisas: X):
\frac{-b + \sqrt {\Delta}}{2a} \quad\text{y}\quad \frac{-b - \sqrt {\Delta}}{2a}.
Una solución real doble si el discriminante es cero (la parábola sólo toca en un punto al eje delas abscisas: X):
-\frac{b}{2a} . \,\!
Dos números complejos conjugados si el discriminante es negativo (la parábola no corta al eje de las abscisas: X):
\frac{-b}{2a} + i \frac{\sqrt {-\Delta}}{2a}, \quad\text{y}\quad \frac{-b}{2a} - i \frac{\sqrt {-\Delta}}{2a},
donde i es la unidad imaginaria.
En conclusión, las raíces son distintas si el discriminante es no nulo, y son números reales si–sólo si– el discriminante es no negativo.
Ecuación bicuadrática[editar · editar código]

Expresada de modo más general, una ecuación cuadrática en x^n\, es de la forma:
(*) ax^{2n} +bx^n + c = 0 \,
con n un número natural y a distinto de cero. El caso particular de esta ecuación donde n = 2 se conoce como ecuación bicuadrática. Si se hace el cambio de variable y = x^n\,, las soluciones de laecuación (*) pueden reducirse a las soluciones de una ecuación cuadrática. Si y_1 \neq y_2\, son soluciones de la ecuación:
ay^2 +by + c = 0 \,
Entonces las otras soluciones, algunas de las cuales pueden ser complejas son:
\begin{cases} x_k = (y_1)^{\frac{1}{n}}
\left(\cos\frac{2\pi k}{n} + i \sin\frac{2\pi k}{n}\right) & k = 1\dots n \\
x_k = (y_2)^{\frac{1}{n}}
\left(\cos\frac{2\pi k}{n}+ i \sin\frac{2\pi k}{n}\right) & k = n+1\dots 2n
\end{cases}
Clasificación[editar · editar código]

La ecuación de segundo grado se clasifica de la manera siguiente:[cita requerida]
1. Completa. Es la forma canónica:
ax^2 + bx + c = 0 \,
donde las tres literales: a, b y c, son distintas de cero.
Esta ecuación admite tres maneras para las soluciones: 1) dos números reales y diferentes;2) dos números reales e iguales (un número real doble); 3) dos números complejos conjugados, según el valor del discriminante
\Delta = b^2 - 4ac \,
ya sea positivo, cero o negativo, respectivamente.
Se resuelven por factorización, o por el método de completar el cuadrado o por fórmula general. Esta fórmula se deduce más adelante.
2. Incompleta pura. Puede expresarse de las dos manerassiguientes:
ax^2 + c = 0 \,
donde los valores de a y de c son distintos de cero. Se resuelve despejando x mediante operaciones inversas. Su solución son dos raíces reales que difieren en el signo si los valores de a y de c son de signo contrario, o bien dos números imaginarios puros que difieren en el signo si los valores de a y de c son del mismo signo.
Una ecuación cuadrática incompleta:...