Ecuaciones de Euler

Ecuaciones del movimiento de un fluido ideal

Fluido ideal:
1. Es incompresible, su volumen no cambia al moverse
2. La densidad ρ es constante para todos los elementos de fluido y para
todos lostiempos.
3. La fuerza sobre un elemento de superficie nδS dentro del fluido es
pn δS,
donde p(x, y, z, t) es una funci´n escalar denominada presi´n.
o
o
1

Implicaciones de la condici´n deincompresibilidad
o
El flujo (volumen por unidad de tiempo) a trav´s de un elemento de
e
superficie δS es
u · n δS.
El flujo neto a trav´s de una superficie cerrada S que rodea un volumen V
e
ser´ ceroen el caso de un fluido incompresible
a
u · n dS =
S

· u dV = 0.
V

Como esto debe cumplirse para todos los elementos de fluido
·u=0
en todos los puntos del fluido.
2

Fuerzas sobre unelemento de fluido: Ecuaciones de Euler
La fuerza sobre una superficie cerrada S que rodea un volumen de fluido
ser´ (tercera propiedad del fluido ideal)
a
−

pn δS = −
S

p dV,
V

Entonces, sip es continuo la fuerza neta por unidad de volumen debida
a la presi´n ser´ − p.
o
a
Si sobre el fluido act´a la fuerza de la gravedad (fuerza de volumen), la
u
fuerza total sobre una part´ıcula de fluido de volumen δV ser´
a
(− p + ρg)δV.
3

Esta fuerza ser´ igual a la masa de la part´
a
ıcula de fluido (que se conserva)
por su aceleraci´n
o
Du
ρδV
.
Dt
Las ecuaciones delmovimiento del fluido ideal (denominadas ecuaciones de
Euler) ser´n
a
Du
1
= − p + g,
Dt
ρ
· u = 0.
Tenemos una ecuaci´n vectorial (o tres ecuaciones escalares) y una
o
ecuaci´n escalar, lasinc´gnitas son u, v, w, p.
o
o

4

Ecuaciones de Euler en coordenadas cartesianas
∂u
+ (u ·
∂t
∂v
+ (u ·
∂t
∂w
+ (u ·
∂t
donde
(u ·

1 ∂p
)u = −
ρ ∂x
1 ∂p
)v = −
ρ ∂y
1 ∂p
)w = −ρ ∂z

∂f
∂f
∂f
)f = u
+v
+w
∂x
∂y
∂z

La ecuaci´n de continuidad es
o
∂u ∂v ∂w
+
+
=0
∂x ∂y ∂z

5

Ecuaciones de Euler en coordenadas cil´
ındricas
u2
∂ur
1 ∂p
φ
+...