Ecuaciones de Maxwell

Ecuaciones de Maxwell y Ondas
Electromagnéticas
Tema 12

Contenido
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Leyes fundamentales
Ley de Ampère-Maxwell
Leyes de Maxwell
Ecuaciones de Maxwell diferenciales
Ecuaciones de Ondas
Ondas electromagnéticas (OEM)
Velocidad de la luz
Espectro electromagnético
Relación entre E, B y c
Densidad de energía de las OEM
Vector de PoyntingIntensidad de la OEM
Presión de Radiación
Momento lineal de fotones

Leyes Fundamentales
Hasta aquí hemos visto cuatro leyes básicas del electromagnetismo:
1º) La Ley de Gauss (para la electroestática)
 S q
(1)
E⋅d  =
∮

2º) La Ley de Faraday
d B
 =−

 S
=∮ E⋅d l
; en que  B =∫ B⋅d 
dt
3º) La Ley de Gauss (para la magnetoestática)
 S
∮ B⋅d  =0

(3)

4º) La Ley deAmpère
 l
∮ B⋅d  = i ;

en que i=∫ ⋅d 
J S

(4)

(2)

Leyes de Ampère-Maxwell
J.C. Maxwell en 1873 observó que a la corriente de conducción i debía
agregarse una corriente adicional. Fue una observación genial basada en la
exigencia de preservar la ley de conservación de la corriente en un circuito
RC en la etapa de transiente.
El circuito de la figura se encuentra en laPlacas del capacitor
etapa de transiente después de cerrar el
Superficie cerrada
interruptor. En el instante en que en él existe
una corriente i se echa de menos una
corriente igual y que no sea de conducción
entre las placas del condensador. Se ha
dibujado una superficie cerrada que pasa
i
entre dichas láminas
Pues bien, en el lado izquierdo entra la corriente por el conductor pero en ellado derecho no puede existir corriente de conducción ya que la carga que
llega se acumula en las placas. Dado que esta carga está aumentando el


campo eléctrico y con él el desplazamiento eléctrico D = E , Maxwell
representó la variación del flujo de este vector con una corriente.

Ley de Ampère-Maxwell
Maxwell llamó a esta corriente como corriente de desplazamiento:

Dado que

dD d
 S
i D=
= ∫ D⋅d 
dt
dt


D = 0 n entonces

(5)

dq0
d   d
i D = ∫ D⋅d S = ∫  0 dS =
dt
dt
dt

(6)

Se ve que esta corriente adicional da cuenta del cambio de la carga libre
en el condensador y la ley de Ampère, ahora ley de Ampère-Maxwell, es:
 l
∮ B⋅d  =ii D 
O bien,

(7)

d 
 l
B⋅d  =i ∫ D⋅d  
S
∮
dt

(8)

Ecuaciones de MaxwellEntonces se conoce a las leyes de Maxwell
1º) La Ley de Gauss (para la electroestática)
 S q
(1)
E⋅d  =
∮

2º) La Ley de Faraday
d B
 =−

 S
=∮ E⋅d l
; en que  B =∫ B⋅d 
dt

(2)

3º) La Ley de Gauss (para la magnetoestática)
 S
∮ B⋅d  =0

(3)

4º) La Ley de Ampère-Maxwell
⋅d  =i d ∫ D⋅d   ; en que i=∫ ⋅d 
 S
J S
∮B l
dt

(8)

Ecuaciones deMaxwell
Estas ecuaciones relacionan el comportamiento de estos campos
vectoriales en materiales dieléctricos y paramagnéticos y, por supuesto,
en el vacío. Es frecuente encontrarlas en términos de otros vectores, los
que a su vez se relacionan por las denomindas ecuaciones constitutivas:


D = E

y



B = H

(9)

Veamos las ecuaciones de Maxwell diferenciales, algo que yahabiamos anticipado.
1º) La Ley de Gauss (para la electroestática)
 S q
E⋅d  =
∮


(1)

Para cargas distribuidas podemos escribir la carga por
q=∫  dv

Ecuaciones de Maxwell
Luego la primera ecuación de Maxwell se puede escribir
 S 1
E⋅d  = ∫  dv
∮

 
 S
Por el teorema de Gauss ∮ E⋅d  =∫ ∇⋅E dv tenemos
 E= 
∇⋅


(10)

2º) La Ley de Faraday
 l
=∮ E⋅d  =−Según el teorema de Stokes

d B
 S
; en que  B =∫ B⋅d 
dt
  S
 l
∮ E⋅d  =∫ ∇× E⋅d 


 E =− ∂ B
∇× 
∂t

(11)

(2)

entonces

Ecuaciones de Maxwell
3º) La Ley de Gauss (para la magnetoestática)
 S
∮ B⋅d  =0

(3)

Similarmente al caso electrostático, usando el teorema de Gauss
 
∇⋅B =0

(12)

4º) La Ley de Ampère-Maxwell
d 
 l
B⋅d  =i ∫...