Ecuaciones de segundo grado

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ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

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8x2 + (7 − x)2 = 25
x2 + (7 − x)2 = 25
x2 + 49 − 14x + x2 = 25
2x2 − 14x + 24 = 0
x2 − 7x + 12 = 0

97x2 + 21x − 28 = 0
7x2 + 21x − 28 = 0
x2 +3x − 4 = 0

10−x2 + 4x − 7 = 0
−x2 + 4x − 7 = 0
x2 − 4x + 7 = 0

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126x2 −5x +1 = 0
6x2 −5x +1 = 0

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Determinar el ángulo que forman losvectores A = 3 i + 10 j + 11 k  y B = 11 i + 2 j + 10 k
Solución:
A . B = A . B . cos θ = Ax . Bx + Ay . By + Az . Bz
→     cos θ = ( Ax . Bx + Ay . By + Az . Bz ) / (A . B)
A = ( Ax2 + Ay2 + Az2 )1/2 = (32 + 102 + 112 )1/2 = 15’17
B = ( Bx2 + By2 + Bz2 )1/2 = (112 + 22 +102 )1/2 = 15
cos θ = (3.11 + 10.2 + 11.10) / (15’17.15) = 0’716    →     θ = 44’25º
 
 

Niccoló, llamado Tartaglia(tartamudo) nacido alrededor de 1500, propuso el siguiente problema: Un tonel está lleno de vino. Cada día se vacían dos cubos que son reemplazados por dos cubos de agua . Al cabo de seis días hay la mitad de vino y la mitad de agua. ¿ Qué capacidad tiene el tonel ?. 
Este problema es resoluble sea cual fuere el número de días, de cubos que se sacan y la proporción final de vino en agua. 
Sean:x la capacidad del tonel en cubos, n el número de días,
c el número de cubos que se sacan, p la proporción final de vino
Salvo el primer día, cada vez que se saca un cubo del tonel, parte es vino y parte es agua, en la misma proporción en la que están en el tonel.
Después del primer día la cantidad de vino que hay es x - c , es decir:
x - c = x.(1 - c/x) = x.(1 - c/x)1
La proporción que hayde vino respecto al total es x.(1 -c/x) / x = 1 - c/x
Segundo día: Al sacar un cubo, la cantidad de vino en dicho cubo será 1 - c/x , por lo que si se retiran c cubos, la cantidad de vino que quedará en el tonel será:
x.(1 - c/x) - c.(1 - c/x) = (x-c).( 1 - c/x) = x.(1 - c/x).(1 - c/x) = x.(1 - c/x)2
La proporción de vino respecto al total quedará en x.(1 - c/x)2 /x = (1 - c/x)2
Tercer día :Cada cubo que se saque tendrá de vino (1 - c/x)2 , por lo que al retirar c cubos la cantidad de vino en el tonel será:
x.(1 - c/x)2 - c.(1 - c/x)2 = (x - c).(1 - c/x)2 = x.(1 - c/x).(1 - c/x)2 = x.(1 - c/x)3
La proporción de vino respecto al total quedará en x.(1 - c/x)3 /x = (1 - c/x)3  
Como se comprueba, la cantidad y la proporción de vino después de cada extracción son progresionesgeométricas de razón (1 - c/x), siendo el término general x.(1 - c/x)n para la cantidad de vino y (1 - c/x)n para la proporción de vino.
Si al cabo de n días la proporción de vino en el tonel es p , entonces:
(1-c/x)n = p ecuación de grado enésimo de solución:
nÖ (1-c/x)n = nÖ p 1 - c/x = nÖ p x = c / ( 1 - nÖ p)
En el caso particular del enunciado original, c = 2, n = 6, p = 1/2, la solución será:
6Ö(1-2/x)6 = 6Ö 1/2 1-2/x = 1/ 6Ö 2 x = 2 / ( 1 - 1/ 6Ö 2) = 18'33159 cubos

Calcular la impedancia del circuito de la figura si
     R = 100 ± 5 ohmmios, 
    L = 50 ± 10 milihenrios, 
    C = 20 ± 2 microfaradios y 
    w = 314 ± 1 rad/seg.
La impedancia de este circuito es:    Z = [ R2 + (L.w - 1 /C.w )2 ]1/2 
Z = [ 1002 + ( 50.10-3.314 - 1 /(20.10-6.314) )2 ]1/2 = 174 ' 9356687898ohmmios
Al existir operaciones suma con productos hay que calcular los errores acumulados en cada sumando:
A = 1 /(C.w) = 1/(20..10-6.314) = 159'2357   ®   DA / A = DC / C + Dw / w = 2 /20 + 1 /314 = 0'1032
DA = 0'1032 . 159'2357 = 16'431
B = L.w = 50.10-3 . 314 = 15'7   ®   DB / B = DL / L + Dw / w = 10 /50 + 1 /314 = 0'2032
DB = 0'2032 . 15'7 = 3'19
D = B - A = 15'7 - 159'2357 = -143'5357 
DD =DB + DA = 3'19 + 16'431 = 19'621
E = D2 = (-143'5357)2 = 20602'497   ®   DE / E = 2 . DD / D = 2 . 19'621 /143'5357 = 0'2734
DE = 0'2734 . 20602'497 =  5632'628
F = R2 = 1002 = 10000   ®   DF / F = 2 . DR / R = 2 . 5 /100 = 0'1 
DF = 0'1 . 10000 = 1000
G = F + E = 10000 + 20602'497 = 30602'497   ®   
DG = DF + DE = 1000 + 5632'628 = 6632'628
Z = G1/2    ®   DZ / Z = ½ . DG / G = ½ ....
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