Ecuaciones de segundo orden

TRABAJO COLABORATIVO 2

MAURA LIDIA CUTTA CHAPARRO
COD. 47440848

GRUPO
100412_75

TUTOR:
CARLOS IVAN BUCHELI

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA
ECUACIONES DIFERENCIALES
MAYO
2010
INTRODUCCION

En este trabajo estudiaremos las ecuaciones diferenciales de segundo orden con coeficientes constantes y su forma de solución, utilizando una herramienta del álgebra que es laecuación característica. Además analizaremos y solucionaremos las ecuaciones homogéneas y no homogéneas de segundo orden, determinando así los diferentes casos que se pueden presentar en la ecuación diferencial.

OBJETIVOS

GENERAL:

Conocer los conceptos básicos para la solución de las Ecuaciones Diferenciales de Segundo Orden y Orden Superior. Aplicando los diferentes modelos utilizadospara la resolución de los problemas.

ESPECÍFICOS:

• Reconocer una ecuación diferencial con coeficientes constantes.
• Asociar a la ecuación diferencial con coeficientes constantes la ecuación característica.
• Realizar la diferencia de las soluciones de una ecuación de de segundo orden, con respecto a las raíces de la ecuación característica.
• Resolver correctamente lasecuaciones de segundo orden y orden superior con coeficientes constantes.
• Emplear correctamente los métodos para solucionar ecuaciones diferenciales homogéneas de segundo orden y orden superior.
• Solucionar ecuaciones diferenciales no homogéneas por el método de coeficientes indeterminados y de variación de parámetros.
• Resolver correctamente ecuaciones diferenciales no homogéneascon coeficientes constantes.
• resolver correctamente ecuaciones diferenciales lineales y cuantificar la importancia de la modelación matemática con ecuaciones diferenciales en la solución de problemas científicos.
1. Hallar la solución particular de la ecuación diferencial que satisface la condición inicial dada.

Ecuación diferencialCondición inicial

√x + y dy/dx = 0 y(1)= 4 y falta x(1)=0
y dy/dx = -x1/2
y dy/dx = - x1/2 dx
∫ y dy/dx = - ∫ x1/2 dx
y2/2 = -x3/2 / (3/2)
y2/2 = - 2/3 x3/2
y2 = - 4/3 x3/2 +C

Reemplazando x= 0 y y= 4 quedaría:
42= - 4/3 03/2 +C
16= 0 +C
C= 16

Por lo tanto la solución particular queda:

y2 = - 4/3 x3/2 +16
y= (-4/3 x3/2 +16)1/2

2. Averiguar si la función es homogénea, y si es así, hallar el grado.

f (x, y) = x3 – 4xy2 + y3

La función es de grado 3

f (tx,ty) = tn f (x,y ) La función si cumple esta condición es homogénea

tn f (x,y )= t3(x3 – 4xy2 + y3)

f (tx,ty) = ( tx)3-4tx(ty)2+(ty)3
f (tx,ty) = t3x3-4txt2y2+t3y3
f (tx,ty) = t3x3- 4t3xy2+t3y3
f (tx,ty) = t3 (x3- 4xy2+y3)

f(tx,ty) = tn f (x,y ) La función si cumple es homogénea de grado 3

f (x, y) = 2 Ln xy

La función es de grado 2

f (tx,ty) = tn f (x,y ) si la función cumple esta condición es homogénea

tn f (x,y )= t2 2 Ln txty
tn f (x,y )= 2 t2 Ln t2 xy

f (tx,ty) = 2 Ln txty
f (tx,ty) = 2 Ln t2 xy

f (tx,ty) = tn f (x,y ) si por lo tanto la función no es homogénea

f (x, y) = 2 Ln (x/y)La función es de grado 0

f (tx,ty) = tn f (x,y ) si la función cumple esta condición es homogénea

tn f (x,y )= t0 2Ln (x/y)
tn f (x,y )= 2Ln (x/y)

f (tx,ty) = 2Ln (tx/ty)
f (tx,ty) = 2Ln (x/y)

3. Halle los primeros cinco términos del desarrollo en series de Taylor alrededor de x= 0 de la solución y(x) del siguiente problema de valor inicial:

[pic]

[pic]

[pic]

[pic][pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]
f (tx,ty) = tn f (x,y ) si por lo tanto la función es homogénea de grado 0

4. Una de las aplicaciones de física es la ecuación de Hermite y legendre, averigüe para que sirven y además resuelva lo siguiente:

[pic]

[pic]

(1-x[pic])y” – 2xy´ + [pic] ([pic]+1) y = 0

y = [pic](k [pic] , y´= [pic] k₁ (k[pic] , y” = [pic]...