Ecuaciones De Tercer Grado

RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE TERCER GRADO. MÉTODO DE CARDANO.
Profr. Andrés Madrigal Cuín
Sea una ecuación de tercer grado con una incógnita, es una ecuación que se puede poner bajo la forma canónica:
a0x3+a1x2+a2x+a3=0 (1)
donde a0,a1,a2 y a3 pertenecen a los Reales y a0≠0
El coeficiente a0 no puede ser 0, ya que si lo fuera, el término se haría cero y se convertiría en una ecuación desegundo grado.
El prime paso es transformar la ecuación de tal manera que el coeficiente de x3 sea 1, es decir que a0 sea igual a 1. A este procedimiento se le suele llamar normalizar la ecuación.
Ya que la división por el coeficiente de x3 no modifica las raíces de la ecuación, se puede escribir como:
a0 a0x3+a1a0x2+a2a0x+a3a0 , a0≠0
Donde
a0 a0=1; a1a0=a;a2a0=b; a3a0=c
Quedando la ecuación 2 como:
x3+ax2+bx+c=0 (2)
Lo siguiente es hacer una transformación de la ecuación de tal manera que el término de x2se anule, para lo cual se hará uso de la transformación de Tschirnhausen. Dicha transformación no quiere decir que haga una equivalencia; simplemente quiere decir que al encontrar las raíces de la nueva ecuación (sin el término dex2), permitirá mediante una simple sustitución encontrar las raíces de la ecuación original.
Se tiene la ecuación
x3+ax2+bx+c=0 (2)
y se quiere pasar a una ecuación de la forma
y3+py+q=0 (3)
Donde p y q quedan determinadas por los coeficientes de la ecuación 2.
Para hacer la mencionada transformación es necesario sustituir a x por y-z. Puede ser también por y+z, para el caso es igualya que se llega a la misma conclusión, pero para fines de este trabajo se utilizará.
x=(y-z) (4)
Lo que se pretende con dicha sustitución es establecer una nueva ecuación en función de y, y determinar cuanto debe valer z,en función de los coeficientes de la ecuación 2.
Sustituyendo x=(y-z), en la ecuación 3 se tiene:
(y-z)3+a(y-z)2+by-z+c=0
Realizando las operaciones correspondientesse tiene:
y3-3y2z+3yz2-z3+ay2-2ayz+az2+by-bz+c=0
Agrupando términos semejantes:
y3-y2-3z+a+y3z2-2az+b+-z3+az2-bz+c=0
como queremos que el término en y2se anule, debemos hacer que su coeficiente sea 0, entonces:
-3z+a=0
Despejando z, que es lo que estamos buscando, se tiene:
z= -a3 (5)

Sustituyendo 5 en 4 se tiene:
x= y-a3 (6)
Ahora bien, conociendo cuanto vale z, se procedea hacer la sustitución de 6 en 2.
y-a33+by-a32+cy-a3+d=0
realizando las operaciones indicadas y agrupando términos semejantes:
y3+b-a23y+c-ba3+2a227 (7)
Comparando la ecuación 8 con la 4 que es a la que se quiere llegar, se tiene que:
y3+py+q=0 (3)
p=b-a23 (8)
q= c-ba3+2a227 (9)
La ecuación cúbica reducida (3), es más fácil de resolver que la 1, de modo que resolviendola 3, se pueden calcular las raíces de la ecuación al hacer la sustitución respectiva en la ecuación 6, por ser esta una relación lineal e invertible. El siguiente paso consiste en pasar la ecuación cubica que se tiene (3) a una cuadrática.
Para hacer esto se toma de base un binomio al cubo con el siguiente y se desarrolla:
u+v3= u3+3u2v+3uv2+v3
Se agrupan términos semejantes y se tiene:
u+v3=u3+v3+3uv u+v
Se iguala a 0
u+v3-u3-v3-3uv u+v=0
u+v3-3uv u+v-u3-v3=0 (10)
Comparando a 10 con 3, se tienen las siguientes igualdades.
y=u+v (11)
p=-3uv (12)
q=-u3-v3 (13)
Con 12 y 13 se tiene un sistema de ecuaciones que se resolverá. Se hará por sustitución.
De la ecuación 12 se despeja v
v=-p3u
y se sustituye en la 13.
u3+-p3u3+q=0
u3-p327u3+q=0 (14)
Semultiplica por u3 para lograr la ecuación cuadrática que se busca.
u3u3-u3p327u3+u3q=0
u6+u3q-p327=0
Se sustituye w por u3para mayor comodidad y se logra la ecuación cubica buscada.

z= u3 (15)
z2+qz-p327=0 (16)

Por la fórmula general se resuelve
z=-q±q2+4p3272
z=-q2±q24+4p3427
z=-q2±q24+p327
z=-q2±q22+p33
Entonces, llamándolas A y B, tenemos que:
z1=u3=-q2+q22+p33=A...