Ecuaciones diferenciales aplicaciones de volumen de esferas

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Análisis por compartimentos

1. Una solución salina entra a una razón constante de 8 litros /minuto en un tanque de gran tamaño que en un principio contenía 100 litros de solución salina en que se habían disuelto 0.5 kg de sal. La solución dentro del tanque se mantiene bien revuelta y sale del tanque con la misma razón. Si la concentración de sal en la solución que entraal tanque es de 0.05 kg/litro, determine la masa de sal en el tanque después de t minutos. ¿Cuándo llegará la concentración de sal en el tanque a 0.02 kg/litro?

X (0) = 0.5 kg
V = 100 L
8Lmin
8Lmin
0.05kgL

Razón de entrada
8Lmin.0,05kgL=0.4kgmin
Razón de salida
8Lmin.x(t)kg100L=2x(t)25 .kgmin

Modelo matemático

dxdt=Razon de entrada-Razon de salida

Reemplazando tenemosdxdt=0.4-2x25 =10-2x25=-225(x-5)

Separando variables
dx(x-5)=-225dt

Integrando ambos miembros de la ecuación tenemos

lnx-5=-225t+C xt=5+C1e-2t25

Hallando el C1 , utilizamos la condición inicial x (0) = 0.5 kg

0.5=5+C1 C1=-92

Reemplazando tenemos
xt=5-92e-2t25

Así, la concentración de sal en el instante t es:x(t)100=0.015-92e-2t25
Para determinar el momento en que la concentración de la sal es 0.02 kg/litro, igualamos el lado derecho a 0.02 y despejamos t, con lo que tenemos

0.015-92e-2t25=0.02 -92e-2t25=-3
ln e-2t25=ln23 t=-25 2 ln23
∴ t=5.07 min

2. Una solución salina entra a una razón constante de 6 litros /minuto en un tanque degran tamaño que en un principio contenía 50 litros de solución salina en que se habían disuelto 0.5 kg de sal. La solución dentro del tanque se mantiene bien revuelta y sale del tanque con la misma razón. Si la concentración de sal en la solución que entra al tanque es de 0.05 kg/litro, determine la masa de sal en el tanque después de t minutos. ¿Cuándo llegará la concentración desal en el tanque a 0.03 kg/litro?

X (0) = 0.5 kg
V = 50 L
6Lmin
6Lmin
0.05kgL

Razón de entrada
6Lmin.0,05kgL=0.3kgmin
Razón de salida
6Lmin.x(t)kg50L=3x(t)25 .kgmin

Modelo matemático
dxdt=Razon de entrada-Razon de salida

Reemplazando tenemos
dxdt=0.3-3x25 =152-3x25=-350(2x-5)

Separando variables
2 dx(2x-5)=-325dt

Integrando ambos miembros de la ecuación tenemosln2x-5=-325t+C xt=52+C1e-3t25
Hallando el C1 , utilizamos la condición inicial x (0) = 0.5 kg
0.5=52+C1 C1=-2
Reemplazando tenemos
xt=52-2e-3t25

Así, la concentración de sal en el instante t es
x(t)50=0.0252-2e-3t25
Para determinar el momento en que la concentración de la sal es 0.03 kg/litro, igualamos el lado derecho a 0.03 y despejamos t, conlo que tenemos

0.0252-2e-3t25=0.03
-2e-3t25=-1
ln e-3t25=ln12
t=-25 3 ln12


∴ t=5.77 min

3. Una solución de acido nítrico entra a una razón constante de 6 litros /minuto en un tanque de gran tamaño que en un principio contenía 200 litros de una solución de acido nítrico al 0.5%. la solución dentro del tanque se mantiene bien revuelta ysale del tanque a razón de 8 litros/minuto. si la solución que entra al tanque tiene acido nítrico al 20%, determine el volumen de acido nítrico en el tanque después de t minutos. ¿Cuándo llegará el porcentaje de acido nítrico en el tanque a 10%?

0.5 %
V = 200 L
6Lmin
8Lmin
20%

Razón de entrada
6Lmin.20 kg100 L=1.2kgmin
Razón de salida
8Lmin.x(t)kg(200-2t)L=4 x(t)(100-t) .kgminModelo matemático
dxdt=Razon de entrada-Razon de salida

Reemplazando tenemos
dxdt=1.2-4x(100-t)

Notamos que es una EDO lineal

dxdt+4x(100-t) =1.2

Hallamos el u (t)
ut=e4(100-t) dt=e-4ln(100-t)=(100-t)-4

Multiplicamos ala EDO por el u (t)
(100-t)-4.x=1.2(100-t)-4dt
(100-t)-4.x=0.4(100-t)-3+k

Despejamos X

x(t)=0.4 (100-t)+k (100-t)4

Ahora hallamos K para ello...
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