ecuaciones diferenciales aplicaciones

“2012. AÑO DEL BICENTENARIO DEL ILUSTRADOR NACIONAL”

Aplicaciones.
Sistema masa-resorte.
Consideremos un objeto sujeto a un resorte sobre una superficie completamente lisa (sin friccion)Fijemos el eje x, con un punto “o” coincidiendo con el centro de masa del objeto cuando el resorte
este en posición de equilibrio.
Así que la posición del objeto en cualquier tiempo t se describe através de x(t).
Cuando el resorte se estira x es positiva porque el objeto se mueve en la dirección positiva de x,
mientras que cuando el resorte se comprime, x es negativa
De acuerdo a la ley de Hooke𝐹 𝑅 = −𝑘𝑥 donde 𝑘 es una constante positiva de proporcionalidad y es
la constante del resorte.
Por otro lado, de acuerdo a la 2° ley de Newton, tenemos 𝐹 = 𝑚𝑎 = 𝑚𝑥 ′′ 𝑡 .
Así que para el sistemamasa-resorte de la figura:
𝑚𝑥 ′′ 𝑡 = −𝑘𝑥 o bien
𝑚𝑥′′ 𝑡 + 𝑘𝑥 𝑡 = 0 que es la ecuación diferencial homogénea y de
coeficientes constantes.
Sacando la ecuación auxiliar: 𝑚𝑟 2 + 𝑘 = 0
Polinomio auxiliar:𝑟 2 =

−𝑘
𝑚

𝑟=±
𝑥 𝑡 = 𝐴𝑠𝑒𝑛

Haciendo 𝜔 =

𝑘
𝑚

𝑖
𝑘
𝑚

𝑡 + 𝐵𝑐𝑜𝑠

𝑘
𝑚

𝑡

𝑘
𝑚

𝑥 𝑡 = 𝐴𝑠𝑒𝑛 𝜔 𝑡 + 𝐵𝑐𝑜𝑠 𝜔 𝑡

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TESVG-SGC-GCR-06
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“2012. AÑO DEL BICENTENARIO DEL ILUSTRADOR NACIONAL”Ejemplo:
Suponga que un bloque de 2 kg se sujeta de un resorte con 𝑘 = 4 𝑁 𝑚 y se desliza horizontalmente
sobre una superficie sin fricción. El bloque se coloca a un metro hacia la izquierda de laposición de
reposo 𝑥 = 0 y se abandona en 𝑡 = 0 con una velocidad inicial hacia la derecha de 3 𝑚 𝑠. Hallar la
función que describe su movimiento.
Ejercicio:
Un cuerpo con masa de 250gr,...