Ecuaciones Diferenciales: Coheficientes Indeterminados
Páginas: 6 (1309 palabras)
Publicado: 15 de octubre de 2012
PROBLEMAS DE ECUACIONES
DIFERENCIALES ORDINARIAS
DE SEGUNDO ORDEN
SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN LINEAL A COEFICIENTES CONSTANTES: CASO HOMOGÉNEO
La forma general de esta ecuación es:
[pic]
Para resolverla, se deben hallar las soluciones de la ecuación característica:
[pic]
De acuerdo a la naturaleza de las soluciones, se obtienen tres casos:
Caso 1: [pic], raíces reales ydistintas. La solución de la EDO es:
[pic]
Caso 2: [pic], raíces reales e iguales. La solución de la EDO es:
[pic]
Caso 3: [pic], raíces complejas conjugadas. La solución de la EDO es:
[pic] (solución compleja)
[pic] (solución real)
Vemos que en cada uno de estos casos existe un espacio de soluciones, resultante de la combinación lineal de dos funciones. El conjunto deestas dos funciones se conoce como base de soluciones de la EDO homogénea.
SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN LINEAL A COEFICIENTES CONSTANTES: CASO NO HOMOGÉNEO
La forma general de esta ecuación es:
[pic]
Para resolverla, se debe hallar primero la solución de la ecuación homogénea asociada:
[pic]
y la solución es de la forma:
[pic],
donde yc es la solución de la homogénea asociada, yy* es una solución particular del problema no homogéneo que se obtiene a partir de un método adecuado (ver más abajo).
SOLUCIÓN PARTICULAR DE LA ECUACIÓN LINEAL NO HOMOGÉNEA A COEFICIENTES CONSTANTES: MÉTODO DE LOS COEFICIENTES INDETERMINADOS
Este método se aplica cuando la función f(t) es una combinación lineal de productos (finitos) de funciones tales que derivadas den el mismo tipo defunción. Son ellas:
▪ polinomios en t
▪ función exponencial eht
▪ combinaciones lineales dedcos((t) y sen((t)
Para resolverla, se usa una función de prueba que es una combinación lineal del mismo tipo de funciones, cuyos coeficientes se determinarán reemplazándola en la EDO.
El caso más general es:
[pic]
donde h, ( ( 0 y p(t), q(t) polinomios de grado n.
La función de pruebageneral es:
[pic],
donde k, l son los coeficientes a determinar. Si h + i( es raíz de la homogénea asociada (lo que ocurre cuando esta función de prueba es solución del problema homogéneo), y*(t) debe multiplicarse por t.
SOLUCIÓN PARTICULAR DE LA ECUACIÓN LINEAL NO HOMOGÉNEA A COEFICIENTES CONSTANTES: MÉTODO DE VARIACIÓN DE LOS PARÁMETROS
Es un método más general, y válido aun cuando loscoeficientes de la EDO no sean constantes, sino funciones. En este caso la solución particular toma la forma:
[pic]
donde v1 y v2 se obtienen del sistema:
[pic]
donde y1 y y2 son las funciones de la base de soluciones de la EDO homogénea asociada. Estas funciones deben ser linealmente independientes, para lo cual deben cumplir con la condición:
[pic]
Esto es, su determinanteWronskiano no debe ser idénticamente nulo.
PROBLEMAS RESUELTOS
) Variación de los parámetros. La posición y la aceleración, en función del tiempo, de una masa puntual moviéndose unidimensionalmente, vienen relacionadas por la ecuación diferencial
[pic] (unidades mks)
Determinar la ecuación del movimiento (posición en función del tiempo) de la partícula si la misma parte del origen conuna velocidad de 3 m/s.
Solución
Expresando la aceleración como la derivada segunda de la posición y reordenando la ecuación tenemos:
[pic]
Hallemos primero la solución de la ecuación homogénea asociada. Es ésta:
[pic]
La ecuación característica es:
[pic]
Ahora debemos hallar una solución particular del problema no homogéneo. Vemos que, por el tipo de función excitación,deberemos usar En vista de la base de soluciones del problema homogéneo halladas, será:
[pic]
Hallemos ahora v1 y v2:
[pic]
Si ahora sumamos las dos ecuaciones de este último sistema tendremos.
[pic]
Con las funciones v1 y v2 así obtenidas podemos escribir:
[pic]
con lo cual la solución general del problema no homogéneo es:
[pic]
Las condiciones iniciales indican que...
DIFERENCIALES ORDINARIAS
DE SEGUNDO ORDEN
SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN LINEAL A COEFICIENTES CONSTANTES: CASO HOMOGÉNEO
La forma general de esta ecuación es:
[pic]
Para resolverla, se deben hallar las soluciones de la ecuación característica:
[pic]
De acuerdo a la naturaleza de las soluciones, se obtienen tres casos:
Caso 1: [pic], raíces reales ydistintas. La solución de la EDO es:
[pic]
Caso 2: [pic], raíces reales e iguales. La solución de la EDO es:
[pic]
Caso 3: [pic], raíces complejas conjugadas. La solución de la EDO es:
[pic] (solución compleja)
[pic] (solución real)
Vemos que en cada uno de estos casos existe un espacio de soluciones, resultante de la combinación lineal de dos funciones. El conjunto deestas dos funciones se conoce como base de soluciones de la EDO homogénea.
SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN LINEAL A COEFICIENTES CONSTANTES: CASO NO HOMOGÉNEO
La forma general de esta ecuación es:
[pic]
Para resolverla, se debe hallar primero la solución de la ecuación homogénea asociada:
[pic]
y la solución es de la forma:
[pic],
donde yc es la solución de la homogénea asociada, yy* es una solución particular del problema no homogéneo que se obtiene a partir de un método adecuado (ver más abajo).
SOLUCIÓN PARTICULAR DE LA ECUACIÓN LINEAL NO HOMOGÉNEA A COEFICIENTES CONSTANTES: MÉTODO DE LOS COEFICIENTES INDETERMINADOS
Este método se aplica cuando la función f(t) es una combinación lineal de productos (finitos) de funciones tales que derivadas den el mismo tipo defunción. Son ellas:
▪ polinomios en t
▪ función exponencial eht
▪ combinaciones lineales dedcos((t) y sen((t)
Para resolverla, se usa una función de prueba que es una combinación lineal del mismo tipo de funciones, cuyos coeficientes se determinarán reemplazándola en la EDO.
El caso más general es:
[pic]
donde h, ( ( 0 y p(t), q(t) polinomios de grado n.
La función de pruebageneral es:
[pic],
donde k, l son los coeficientes a determinar. Si h + i( es raíz de la homogénea asociada (lo que ocurre cuando esta función de prueba es solución del problema homogéneo), y*(t) debe multiplicarse por t.
SOLUCIÓN PARTICULAR DE LA ECUACIÓN LINEAL NO HOMOGÉNEA A COEFICIENTES CONSTANTES: MÉTODO DE VARIACIÓN DE LOS PARÁMETROS
Es un método más general, y válido aun cuando loscoeficientes de la EDO no sean constantes, sino funciones. En este caso la solución particular toma la forma:
[pic]
donde v1 y v2 se obtienen del sistema:
[pic]
donde y1 y y2 son las funciones de la base de soluciones de la EDO homogénea asociada. Estas funciones deben ser linealmente independientes, para lo cual deben cumplir con la condición:
[pic]
Esto es, su determinanteWronskiano no debe ser idénticamente nulo.
PROBLEMAS RESUELTOS
) Variación de los parámetros. La posición y la aceleración, en función del tiempo, de una masa puntual moviéndose unidimensionalmente, vienen relacionadas por la ecuación diferencial
[pic] (unidades mks)
Determinar la ecuación del movimiento (posición en función del tiempo) de la partícula si la misma parte del origen conuna velocidad de 3 m/s.
Solución
Expresando la aceleración como la derivada segunda de la posición y reordenando la ecuación tenemos:
[pic]
Hallemos primero la solución de la ecuación homogénea asociada. Es ésta:
[pic]
La ecuación característica es:
[pic]
Ahora debemos hallar una solución particular del problema no homogéneo. Vemos que, por el tipo de función excitación,deberemos usar En vista de la base de soluciones del problema homogéneo halladas, será:
[pic]
Hallemos ahora v1 y v2:
[pic]
Si ahora sumamos las dos ecuaciones de este último sistema tendremos.
[pic]
Con las funciones v1 y v2 así obtenidas podemos escribir:
[pic]
con lo cual la solución general del problema no homogéneo es:
[pic]
Las condiciones iniciales indican que...
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