Ecuaciones diferenciales con modelos matematicos

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La Universidad Católica de Loja

Ecuaciones Diferenciales

TEMA:
Determinar la cantidad de alumnos que ingresan anualmente en la Carrera de Ingeniería Civil de la Universidad Técnica Particular de Loja

Integrantes: Ana Poma Ismael Armijos

Docente: Ing. Germania Rodríguez

Loja - Ecuador

JUSTIFICACIÓN
En la actualidad los modelos matemáticos son utilizados en muchas ramas como labiología, la química, la física, etc., es por ello que se ha hecho necesario identificar la manera de construir modelos para dar solución a los problemas que se nos presente.

OBJETIVOS
ESPECÍFICO  Tratar de resolver un problema real utilizando procesos matemáticos, es decir tratar de modelizar un problema.

GENERALES

 Modelar la situación problemática relacionada con el crecimientoexponencial de los alumnos de la carrera de Ingeniería Civil que ingresan anualmente en la Universidad Técnica Particular de Loja.  Identificar y resolver ecuaciones diferenciales de primer orden de variables separables y las respectivas soluciones.  Graficar en un mismo plano de familias de soluciones una ecuación diferencial.

ESTRATEGÍA
Modelar la situación problemática relacionada con elcrecimiento exponencial de los alumnos de la carrera de Ingeniería Civil que ingresan anualmente en la Universidad Técnica Particular de Loja. Para ello es necesario obtener datos con la ayuda de la secretaria de la escuela de Ingeniería Civil, la cual nos proveerá los datos de los alumnos matriculados desde los periodos comprendidos entre Abril 2007/Agosto 2007 hasta el presente periodo octubre2009/febrero 2010. Es importante mencionar que el índice de crecimiento o decrecimiento de la población se mide anualmente y la unidad de variación del tiempo es el año. Esa consistencia de unidades es importante en la resolución de este tipo de problemas, caso contrario seria necesario un ajuste “no lineal” del valor de la constante de crecimiento de la población. La no linealidad seria definidapor el tipo de solución continua que se obtiene al resolver el problema (en el presente caso una variación exponencial).

LEVANTAMIENTO DE INFORMACIÓN
Luego de haber obtenido las actas de matriculados de la escuela de Ingeniería Civil desde hace unos tres años y analizado los datos históricos referente al tema planteado se ha hecho un análisis de este y se ha definido la ecuación diferencial decrecimiento poblacional la cual utilizaremos para el cálculo de las variables. El siguiente cuadro muestra los periodos de matriculas comprendido por ciclos y los periodos de matriculas comprendidos por años ya que vamos a medir la población anualmente y la unidad de variación del tiempo es el año, además matriculados por año: la cantidad de estudiantes matriculados por ciclo y sumados cada dosciclos nos da la cantidad de estudiantes

CUADRO ESTADISTICO:

Periodos Periodos comprendidos por ciclos Abril 2007/Agosto 2007 Octubre 2007/Febrero 2008 Abril 2008/Agosto 2008 Octubre 2008/Febrero 2009 Abril 2009/Agosto 2009 Octubre 2009/Febrero 2010 comprendidos por años

Cantidad de estudiantes matriculados Por ciclo 368 782 414 371 812 441 414 834 420 Por año

2007 2007 2008 2008 20092009

Tabla 1: periodos de matriculas y cantidad de estudiantes matriculados.

PLANTEAMIENTO DEL MODELO
Sea P (t) la cantidad de estudiantes en un instante cualquiera, entonces la rapidez con que la población cambia es proporcional a la cantidad de estudiantes presentes en dicho instante. Por definición el crecimiento de la población en un instante cualquiera se calcula mediante la siguienteexpresión:

Esta expresión define la ecuación diferencial que describe la variación de la población con respecto al tiempo, donde la condición inicial es para: t=0

Aplicando el método de variables separables

integrando

se obtiene solución general implícita aplicando exponencial

solución general explicita

RESOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN

Vamos a definir las variables que forman parte...
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