Ecuaciones Diferenciales: Conceptos Básicos

Universidad Nacional Autónoma de México Ecuaciones Diferenciales I

Ecuaciones Diferenciales Lineales de Primer Orden
Una clase de ecuaciones diferenciales de primer orden que ocurre frecuentemente en aplicaciones es la ecuación lineal. Recuerde que una ecuación lineal de primer orden se puede expresar como

( )

( )

( )

donde

( )

( )

( ) dependen solo de la variableindependiente no de .

( ) Suponiendo que ( ) ( ) son funciones continuas en un intervalo R y ( ) la ecuación lineal de primer orden se puede expresar: ( ) ( )
O bien

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

Con

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

La cual se llama Forma Canónica o Forma Estándar de la ecuación lineal de primer orden. Teorema. La ecuación diferencial lineal integración de la forma ( )
∫ ()

( )

( ) tiene un factor de

y la solución será de la forma:

∫
Demostración:

∫ ( )

( )
∫ ( )

Se parte de la forma canónica o estándar.

( )

( ) ( ) ( )
será

Si esta ecuación la expresamos en términos de entonces:

( )

( )

1

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( ( )( )) , ( )
( )

Si la ecuación anterior es exacta debe satisfacer

lo que implica que P(x)=0, lo cual es inadmisible, por lo tanto se busca un factor de integración ( ) que al multiplicar por la forma canónica, esta sea exacta:

( )

( ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )) ( )

Lo que implica que ( ) ( )

y serán exactas.

Separando variables para obtener a ( ) Integrando el término anterior( )

( )

∫ ∫ ( )

∫ ( )
∫ ( )

Por lo tanto se puede utilizar este factor para encontrar una solución por el método exacto.

( )

( ) ( )

( ) ( )
sustituyendo:

Se sabe por la demostración anterior que ( ) ( )

( )

( ) ( )

Observando, se sabe que los dos términos de la izquierda forman la diferencial total del producto de dos funciones: ( ) y

( ( ) )

( ) ( )la cual es la solución a la

Entonces integrando ambos lados para determinar a Ecuación Diferencial lineal.

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( ) ( )

∫ ( ) ( ) ∫ ( ) ( )

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Método para resolver Ecuaciones Lineales
1. Escribir la ecuación es su forma canónica.

( )
2. Calcular el facto integrante ( ).

( )

( )

∫ ( )

3. Multiplicar la ecuación anterior en la forma canónica recordando que el primer miembro es precisamente

( ( ) )

( )

( ) ( )

( ) ( )

4. Identificar el producto de funciones que genere la diferencial total para los dostérminos de lado izquierdo, y deducir:

( ( ) )

( ) ( )

5. Integrar la última ecuación y despejar la función .

( )
Ejemplo:

[∫ ( ) ( )

]

Calcular factor de integración: Multiplicando por la ecuación lineal canónica:

( )

∫

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( ∫

)Ejercicio S6.1: Resuelve las siguientes ecuaciones lineales. 1. 2. 3. 4. (

( ) √ ) ( )

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Sustituciones y Transformaciones ) ( ) Cuando la ecuación ( no es separable, exacta o lineal, la opción es la transformación a través de una cambio de variable para encontrar lasolución:
   Homogéneas

(
Bernoulli

)

Se consideran estos tipos de ecuaciones para transformarlos mediante una sustitución o cambio de variable. Procedimiento general de la sustitución. 1) Identificar el tipo de ecuación: Homogénea, Bernoulli o 2) 3) 4) 5) Determinar la sustitución adecuada. Rescribir la ecuación en términos de las nuevas variables. Resolver la ecuación transformada....