Ecuaciones Diferenciales De Orden Superior

iales de orden supwMOISÉS VILLENA MUÑOZ

VtÑA G Xvâtv|ÉÇxá xÇ W|yxÜxÇv|tá wx fxzâÇwÉ bÜwxÇ

4
4.1
4.2
4.1

INTRODUCCIÓN.
ECUACIONES EN DIFERENCIAS DE SEGUNDO
ORDEN LINEALES Y HOMOGÉNEAS.

4.3

ECUACIONES EN DIFERENCIAS DE SEGUNDO
ORDEN NO HOMOGENEAS

4.4

ECUACIONES EN DIFERENCIAS LINEALES DE
ORDEN SUPERIOR

4.5

ANÁLISIS CUALITATIVO PARA LA
ESTABILIDAD DINÁMICAOBJETIVOS:
•
Encontrar soluciones de Ecuaciones en Diferencias de
Segundo orden y de orden superior
•
Determinar
Estabilidad
dinámica
cuantitativa
y/o
cualitativamente.

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4.1 INTRODUCCION
Una diferencia de
primer orden fue definida de la siguiente manera
Δyt = yt +1 − yt . Una diferencia de segundo ordensería:

Δ2 yt = Δ(Δyt ) = Δ( yt +1 − yt )
= Δyt +1 − Δyt

= yt + 2 − yt +1 − ( yt +1 − yt )
Δ2 yt = yt + 2 − 2 yt +1 + yt
4.2 ECUACIONES EN DIFERENCIAS DE SEGUNDO ORDEN
LINEALES Y HOMOGÉNEAS
Una ecuación en diferencia de segundo orden homogénea con coeficientes
constantes es de la forma ay t + 2 + by t +1 + cyt = 0 donde a, b, c ∈ ∧ a ≠ 0
Su solución será de la forma yt = k (r ) , igualque todas las ecuaciones
t

lineales. Entonces yt +1 = k (r )

y yt + 2 = k (r )

t +1

t +2

Ahora reemplazando y simplificando tenemos:

ayt + 2 + byt +1 + cyt = 0
ak (r )

t +2

+ bk (r )

t +1

+ ck (r ) = 0
t

kr t (ar 2 + br + c ) = 0

De la última expresión se tiene ar + br + c = 0 . La cual llamamos Ecuación
auxiliar.
2

La ecuación auxiliar es una ecuacióncuadrática que tiene tres casos de
soluciones.
CASO I. Raíces r1 , r2 reales y diferentes. En tal caso yt = k1 (r1 ) + k 2 (r2 )
t

t

CASO II. Raíces r1 = r2 = r reales e iguales. En tal caso yt = k1 (r ) + k 2 t (r )
t

CASO III. Raíces r1 = λ + μi,

t

r2 = λ − μi complejas conjugadas. En tal caso

yt = k1 (r1 ) + k 2 (r2 )
t

t

= k1 (λ + μi ) + k 2 (λ − μi )
t

t

Porteoría de los números complejos

λ + μi = R cos θ + (R sen θ ) i
λ − μi = R cos θ − (R sen θ ) i

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Donde R =

λ2 + μ 2

⎛μ⎞
⎟ . Observe la figura.
⎝λ⎠

y θ = arct ⎜

Entonces:

yt = k1 (λ + μi ) + k 2 (λ − μi )
t

t

= k1 (R cos θ + R sen θi ) + k 2 (R cos θ − R sen θi )
t

t

= k1 R t(cos θ + sen θi ) + k 2 R t (cos θ − sen θi )
t

t

= k1 R t e iθt + k 2 R t e −iθt

= k1 R t [cos θt + i sen θt ] + k 2 R t [cos θt − i sen θt ]
⎤
⎡
= R ⎢(k1 + k 2 )cos θt + (k1i − k 2 i )sen θt ⎥
⎥
⎢k
k2
⎦
⎣
1
t

En definitiva, la última expresión puede quedar de la forma:

yt = R t [k1 cos θt + k 2 sen θt ]
Donde R = λ2 + μ 2

⎛μ⎞
⎝λ⎠

y θ = arct ⎜ ⎟

4.3 ECUACIONESEN DIFERENCIAS DE SEGUNDO ORDEN NO
HOMOGENEAS
La solución de la ecuación no homogénea ay t + 2 + by t +1 + cy t = g t es de la
forma:

yt = ytC + ytP

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C

Donde la solución complementaria yt

satisface la ecuación homogénea

ay C + by C + cy C = 0
t+2

t +1

t

Por tanto, la solucióncomplementaria se la obtiene de la manera anteriormente
descrita.
La

solución

ytP

particular

satisface

la

ecuación

no

homogénea

ay P + by P + cy P = g t y depende de g t .
t +2

t +1

t

Por ejemplo. Analicemos el caso para cuando g t = d . Como es una constante
entonces yt = A . Ahora debemos encontrar el valor de A .
P

Para lo cual yt +1 = A y yt + 2 = A .Reemplazando y simplificando, tenemos:
P

P

ay P + by P + cy P = d
t+2

t +1

t

aA + bA + cA = d
A=
Por tanto yt =
P

d
si
a+b+c

d
a+b+c

a+b+c≠0

Para el caso de que a + b + c = 0 tenemos yt = At
P

Bien, entonces yt +1 = A(t + 1) y yt + 2 = A(t + 2 )
P

P

Reemplazando y simplificando
ay tP2 + by tP1 + cy tP = d
+
+

aA(t + 2 ) + bA(t + 1) + cAt = d
d
A=
a(t +...