Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden: Método de Euler, Euler Mejorado y Método de Runge Kutta Orden 2















SOLUCIÓN NUMÉRICA DE ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN











Método de Euler
Consideremos el problema de calcular la pendiente de una curva desconocida que comienza en un punto dado y satisface una cierta ecuación diferencial dada. Se puede pensar en la ecuación diferencial como una fórmula que nospermite calcular la pendiente de la recta tangente a la curva en cualquier punto de la curva, siempre que el punto se conozca.
La idea es que a pesar de que la curva es desconocida en principio, su punto de comienzo(al cual denotamos por A0) es conocido. Entonces, de la ecuación diferencial se puede computar la pendiente de la curva en el punto A0 y por lo tanto la recta tangente a la curva.
Ahora,dando un pequeño paso sobre dicha recta, podemos tomarnos un nuevo punto A1 y suponer que dicho punto pertenece a la curva, entonces seguimos el mismo razonamiento aplicado anteriormente y volvemos a calcular la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto A1. Luego de varios pasos tendremos formada una curva poligonal A0A1A2A3... En general esta curva que obtenemos al aplicar el métodono diverge lejos de la curva original, además el error entre ambas curvas se puede minimizar si se dan pasos muy pequeños al avanzar sobre la recta tangente a la curva y además el intervalo sobre el que trabajamos es finito (aunque las cosas son más complicadas para ecuaciones inestables, como se discute más abajo).













-Procedimiento:
Consiste en dividir los intervalos quevan de  a  en  subintervalos de ancho; o sea:

De manera que se obtiene un conjunto discreto de  puntos: del intervalo de interés. Para cualquiera de estos puntos se cumple que:

 .
La condición inicial, representa el punto  por donde pasa la curva solución de la ecuación del planteamiento inicial, la cual se denotará como.
Ya teniendo el punto  se puede evaluar la primera derivada de  enese punto; por lo tanto:


Con esta información se traza una recta, aquella que pasa por  y de pendiente. Esta recta aproxima  en una vecindad de. Tómese la recta como reemplazo de  y localícese en ella (la recta) el valor de  correspondiente a. Entonces, podemos deducir según la Gráfica A:



Se resuelve para:


Es evidente que la ordenada  calculada de esta manera no esigual a, pues existe un pequeño error. Sin embargo, el valor  sirve para que se aproxime  en el punto  y repetir el procedimiento anterior a fin de generar la sucesión de aproximaciones siguiente:






-Ejemplo:

Calculamos el valor de  tomando en cuenta que el  valor de divisiones es de ; por lo tanto quedaría así:


Antes de aplicar el método, veamos un esquema de cómo trabajaría elmétodo en este caso concreto:


Los valores iniciales de  y  vienen dados por:
, .
Teniendo dichos valores podemos comenzar con el método. Se harán aproximaciones de hasta trece decimales. La función seno se evaluará en grados.
Por lo que el resultado obtenido es:   ; posteriormenteprocederemos a encontrar el valor relativo entre el valor exacto de la ecuación que es .
Finalmente se calcula el error relativo:
















Método de Euler Mejorado
Dado un problema con una condición inicial
, con 
El método de Euler mejorado con tamaño de paso consiste en la aplicación de las siguientes fórmulas iterativas:




Para calcular las aproximacionessucesivas  a los valores a los valores [verdaderos]  de la solución [exacta]  en los puntos  respectivamente.
El método de Euler mejorado pertenece a una categoría de técnicas numéricas conocidas como métodos predictor-corrector. Primero se calcula un predictor  del siguiente valor de ; después, se usa éste para corregirse a sí mismo. Así el método de Euler mejorado con tamaño de paso h consiste...