Ecuaciones diferenciales de primer orden

Capítulo I

Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden

1

Ecuaciones diferenciales de primer orden

1.1 Teoría preliminar

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En el análisis de situaciones del entorno real, se analizan fenómenos donde se ven
involucradas razones de cambio o variaciones de una función respecto a una o
varias variables, estas ecuaciones se denominan ecuaciones diferenciales.
Una ecuación diferenciales una expresión que contiene las derivadas de una o más
funciones desconocidas. En álgebra, usted resolvía ecuaciones de la forma
2
x + 2 x − 3 = 0 encontrando los valores de x que cumplen con dicha igualdad. Ahora,
de acuerdo al ejemplo
dy
3
(Ec. 1)
+ 2 xy = x
dx
Buscaremos una función y = g ( x) que cumpla con la igualdad anterior.
Las ecuaciones diferenciales pueden ser brevementeclasificadas como:
Una ecuación diferencial es
una ecuación en la que
intervienen derivadas de una o más
funciones desconocidas.

ED ordinarias. Contienen la derivada de una o más funciones respecto a una
sola variable independiente
dy
+ 5y + 3 = 0
dx
ED parciales. Contienen la derivada de una o más funciones respecto a una o
más variables independientes
∂z ( x, y )
+ 5 z ( x, y ) = 3∂x
De acuerdo al orden
El orden de una ecuación diferencial está determinado por la derivada de mayor
orden presente en la ecuación
dy
dx

Ángel Gabriel León Rubio

2

1er orden,

d y
dx

2

n

2do orden,

d y
dx

n

n- ésimo orden

1

Capítulo I

Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden

De acuerdo al grado
Se distingue como la potencia que tiene la derivadade mayor orden
2

 dy  1er orden, 2do grado,
 
 dx 
y '' 2do orden, 1er grado,

( y( ) )
n

m

n-ésimo orden, m-ésimo grado

1.1.1 Solución de una ecuación diferencial

◄

Antes de iniciar con los métodos para resolver una ecuación diferencial, es
necesario identificar las características básicas de una solución. Como se había
mencionado anteriormente una ecuacióndiferencial es una expresión que contiene
la derivada de una o más funciones (desconocidas), la solución de esa ecuación
diferencial consistirá en encontrar a la función que generó esas derivadas, por lo
que los términos y , y ', y '' etcétera serán tratados como incógnitas.
Considere el caso de la ecuación diferencial
dy
dx

= 2x

(Ec. 2)

y

Si deseamos encontrar a la función y, tal queal derivarla resulte en 2x, bastaría
con integrar ambos lados de la ecuación 2

2

1

y = ∫ 2 xdx = x + c
2

x
−2

−1

1

2

(Ec. 3)

Nótese que ésta función contiene una constante c proveniente de la integración. Si
graficáramos la solución tendríamos que para cada valor diferente de c resulta una
curva diferente según lo muestra la Figura 1.

−1

−2

Figura 1.Solución general de y ’= 2x

A esta solución se le llama solución general, porque representa una solución
para cada posible valor de c, esto es, la solución general es un conjunto de curvas
que representan las posibles soluciones de la ecuación diferencial.
Considere ahora, que deseamos obtener una sola curva que represente la solución
de la ecuación diferencial, para ello deberemos de definirlas condiciones para las
cuales se cumple la solución. A estas condiciones se les denomina condiciones
iniciales (más adelante nos referiremos a esto como problema de valor inicial).
Las condiciones iniciales de la ecuación diferencial, no son más que los valores de x
y de y para los cuales, la constante c de la ecuación 3 tiene un valor específico.

y Hx L

Suponga que las condicionesiniciales de la ecuación diferencial de la ecuación 2

son y ( 0) = 1, esto es, cuando x = 0, y = 1 , sustituyendo en la ecuación 3

2.5
2.0
1.5
1.0

Ángel Gabriel León Rubio
0.5
-1

0

1

Figura 2. Solución particular de y’=2x

2

Capítulo I

Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden

y = x +c
2

1= 0 +c
2

c =1

Por lo tanto, la solución es
y = x +1
2

Y su...