Ecuaciones diferenciales lineales de orden superior
Yoel E. Guti´rrez T. e

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Introducci´n o
dn−1 y dy dn y + an−1 (x) n−1 +, . . . , +a1 (x) + a0 (x)y = g(x), n dx dx dx

Definici´n 1.1 Unaecuaci´n diferencial lineal de orden n es de la forma o o an (x) o m´s brevemente a an (x)y (n) + an−1 (x)y (n−1) +, . . . , +a1 (x)y + a0 (x)y = g(x), donde an , an−1 , . . . , a1 , a0 y g dependens´lo de x y no de y o (1.2) (1.1)

1.1

Problemas de valor inicial y de valor en la frontera
an (x)y (n) + an−1 (x)y (n−1) +, . . . , +a1 (x)y + a0 (x)y = g(x) y(x0 ) = y0 , y (x0 ) = y1 , . . . ,y (n−1) (x0 ) = yn−1 . (1.3)

Para una ecuaci´n diferencial lineal, un problema de valor inicial de orden n es o

Recu´rdese que, para un problema como ´ste, se busca una funci´n definida en alg´ne e o u intervalo I que contenga a x0 , y satisfaga la ecuaci´n diferencial y las n condiciones iniciales o especificadas en x0 : y(x0 ) = y0 , y (x0 ) = y1 , . . . , y (n−1) (x0 ) = yn−1 . Teorema 1.1(Teorema de existencia y unicidad) Sean an (x), an−1 (x), . . . , a1 (x), a0 (x) y g(x) funciones continuas en un intervalo I, y sea an (x) = 0 para cada x del intervalo. Si x0 es cualquier punto enI y si y0 , y1 , . . . , yn−1 son n´meros arbitrarios, el u PVI (1.3) tiene una y s´lo una soluci´n y(x) en el intervalo I. o o Otro tipo de problema es resolver una ecuaci´n diferencial lineal desegundo orden o o mayor en la que la variable dependiente y, o sus derivadas, est´n especificadas en puntos a distintos. Un problema como dy d2 y a2 (x) 2 + a1 (x) + a0 (x)y = g(x) dx dx y(a) = y0 , 1y(b) = y1 ,

Ecuaciones diferenciales lineales de orden superior

Yoel Guti´rrez - 2009-1 e

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se llama problemas de valores en la frontera. Los valores y(a) = y0 y y(b) = y1 , se denominancondiciones de la frontera. Una soluci´n del problema anterior es una o funci´n que satisface la ecuaci´n diferencial en alg´n intervalo I que contiene a a y b, cuya o o u representaci´n gr´fica pasa... [continua]

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