Ecuaciones diferenciales lineales

CAPÍTULO

4
Ecuaciones diferenciales de orden superior

4.4.2

ED lineales homogéneas con coeficientes constantes de orden n

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En la sección anterior hemos obtenido las soluciones de la ED lineal homogénea con coeficientes constantes de orden dos, es decir: ay 00 C by 0 C cy D 0: Las soluciones fueron determinadas proponiendo una solución de la forma exponencial y D e r x , con rconstante, y resolviendo luego la ecuación característica: ar 2 C br C c D 0: Los tres diferentes tipos de solución de esta ecuación algebraica determinaron los tres diferentes tipos de solución general para la ecuación diferencial. De manera análoga se resuelve la ecuación diferencial lineal homogénea de orden n 3 W an y .n/ C an
1y .n 1/

C

C a3 y .3/ C a2 y 00 C a1 y 0 C a0 y D 0;

donde loscoeficientes an ; an 1 ; ; a3 ; a2 ; a1 ; a0 son constantes y donde an ¤ 0. Se propone que una solución sea de la forma y D e r x , por lo tanto: y D e r x ) y 0 D r e r x ) y 00 D r 2 e r x ) y .3/ D r 3 e r x ) : : : ) y .n/ D r n e r x : Al sustituir en la ecuación diferencial, se obtiene la ecuación auxiliar o característica: an r n C an
1r n 1

C

C a3 r 3 C a2 r 2 C a1 r C a0 D 0:

Elpolinomio auxiliar o característico de grado n: p.r / D an r n C an
1r n 1

C

C a3 r 3 C a2 r 2 C a1 r C a0

tiene n raíces. Esta última afirmación se sustenta en el teorema Fundamental del Álgebra, en el que se asegura que: “todo polinomio de grado n 1 con coeficientes reales o complejos tiene exactamente n raíces
1. canek.azc.uam.mx: 23/ 9/ 2010

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Ecuaciones diferencialesordinarias

reales o complejas, considerando sus multiplicidades”. Cada una de las raíces genera una solución de la ecuación diferencial. Cuando una raíz r se repite k-veces, se dice que tiene multiplicidad k, y una raíz es de multiplicidad uno cuando sólo aparece una vez. Así, la suma de las multiplicidades de las raíces será igual al grado n del polinomio característico. Ilustramos mediante lossiguientes ejemplos las relaciones entre ED lineales con coeficientes constantes, sus polinomios característicos y las multiplicidades de sus raíces. Ejemplo 4.4.1 Encuentra una ED que tenga como polinomio característico p.r / D .r H Las raíces del polinomio p.r / son r D 1 (cuando r 1 D 0) y, por repetirse 2 veces, tiene multiplicidad 2. 1/2 .r C 3/.r 2/3 :

r D 3 (cuando r C 3 D 0) y tienemultiplicidad 1. r D 2 (cuando r 2 D 0) y, por repetirse 3 veces, tiene multiplicidad 3.

La suma de las multiplicidades en este caso es 6 D 2 C 1 C 3, que es precisamente el grado del polinomio característico p.r / D .r 1/2 .r C 3/.r 2/3 D r 6 5r 5 C r 4 C 37r 3 86r 2 C 76r 24:

Este polinomio es el polinomio auxiliar asociado a la ecuación diferencial lineal homogénea con coeficientes constantes y.6/ 5y .5/ C y .4/ C 37y .3/ 86y 00 C 76y 0 24y D 0; que es de orden 6. Ejemplo 4.4.2 Encuentra una ED que tenga como polinomio característico p.r / D r 3.r 2 H p.r / tiene las raíces siguientes: r D 0 (cuando r 3 D 0), y tiene multiplicidad 3. r D ˙1 (cuando r 2 1 D 0), con multiplicidad 1 cada una. 1), con multiplicidad 1 cada una. 1/.r 2 C 1/:

r D ˙i (cuando r 2 C 1 D 0; o bien r 2 D

Lasuma de las multiplicidades es 7, esto es, 3 C 1 C 1 C 1 C 1, que es precisamente el grado del polinomio característico p.r / D r 3.r 2 1/.r 2 C 1/ D r 7 r 3; el cual es el polinomio auxiliar asociado a la ecuación diferencial lineal homogénea con coeficientes constantes y .7/ y .3/ D 0; que es de orden 7.

El mayor problema que encontraremos al resolver la ecuación diferencial lineal homogéneade orden n está en encontrar las raíces del polinomio característico de grado n: p.r / D an r n C an
1r n 1

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C

C a3 r 3 C a2 r 2 C a1 r C a0 ;

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ya que, en general, no se tiene una fórmula para encontrar sus raíces, como sí se tiene para la ecuación de segundo grado. Un resultado que ayuda en esta problemática es el teorema del Residuo,...